1、人教B版 数学 必修2： 空间点、直线、平面之间的位置关系小结一、选择题1. a,b是两条异面直线， （ ）A若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一个平面与a，b都平行B过直线a且垂直于直线b的平面有且只有一个C若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都平行D若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都垂直2.若三棱锥SABC的项点S在底面上的射影H在ABC的内部，且是在ABC的垂心，则 ( )A三条侧棱长相等 B三个侧面与底面所成的角相等CH到ABC三边的距离相等 D点A在平面SBC上的射影是SBC的垂心3. a、b是异面直线，下面四个命题：过a至少有
2、一个平面平行于b；过a至少有一个平面垂直于b；至少有一条直线与a、b都垂直；至少有一个平面分别与a、b都平行，其中正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D34. 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )A. 90 B .60 C. 45 D.305. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1PPC，则棱AD的长的取值范围是（ ）ABCD二、填空题6. 已知直线m，n，平面，给出下列命题：若；若；若；若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其中正确的
3、命题的题号为 7. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，下面有四个命题： E N AF C BDM其中假命题的题号为 8. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：AB与EF所在的直线平行；AB与CD所在的直线异面；MN与BF所在的直线成60角；MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是 9. 有6根细木棒，其中较长的两根分别为，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 . 10. 下面是关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全
4、等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)三、解答题11. 下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号) 12. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. （）求证：直线BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱锥C1ABB1的体积.13. ABCDES 如图，已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的一点.(1)求
5、证：平面EBD平面SAC；(2)设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离；(3)当的值为多少时，二面角BSCD的大小为120.14. 如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、B、C三点重合，构成三棱锥A DEF (I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值()设点M、N分别在AD、EF上， (O，为变量)当为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段? 请证明你的结论设异面直线MN与AE所成的角为a，异面直线MN与DF所成的角为，试求a+ 的值【课时42答案】1.D2.D3.A4.C5.D6.、7.、8.、9. 10.、11. 为了
6、得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l面MNP；若有l的垂面面MNP，也可得l面MNP 解法1 作正方体ABCDA1B 1 C1 D1如附图，与题设图形对比讨论在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB 1 D1都是对角线l (即 AC1)的垂面 对比图，由MNBA l，MPBD，知面MNP面BA l D，故得l面MNP 对比图，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBl
7、Dl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP 对比图，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP 对比图，由MNBD，MPBA知面 MNP面BA 1 D，故l面MNP 对比图，面MNP与面EFGHKR重合，故l面MNP 综合得本题的答案为 解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为各图可讨论如下： 在图中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l面MNP事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故lMP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故lMN，从而l面 MNP 在图中，由MP面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN从而l
8、不垂直于面MNP 在图中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP 在图中，平面垂直平分线段MN，故lMN又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而lMP，故l面 MNP 在图中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直从而l面MNP 至此，得为本题答案12. （）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平
9、面AB1D.（）解：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60即二面角B1ADB的大小为60（）解法一：过A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中，即三棱锥C1ABB1的体积为ABCDESO13. (1)证明：SA底面ABCD，BD底面ABCD，SABDABCD是正方形，ACBDBD平面SAC，又BD平面EBD平面EBD平面SAC. (2)解：设AC
10、BDO，连结SO，则SOBD由AB2，知BD2SOSSBD BDSO236令点A到平面SBD的距离为h，由SA平面ABCD, 则SSBDhSABDSA6h224 h 点A到平面SBD的距离为 14. （）如图，取DE的中点G，连接AG、FG 由题意AD=AE，DEF为正三角形，得AGDE，AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角 由题意得AG=FG=在AGF中，平面ADF与底面DEF所成二面角的余弦值为（）（1）=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段 当=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，则由题意，知AN=DN=，MNAD，同理可证MNEF =1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段 （2）过点M作MHDF，交AF于点H，则HMN为异面直线 MN与DF所成的角 由MHDF，得 ，HN/AE，MNH为异面直线 MN与AE所成的角 +=MNH+HMN=MHN 由题意得，三棱锤ADEF是正棱锤，则点A在底面DEF上的射影为底面DEF的中心，记为O AE在底面DEF上的射影EODF， AEDF 又HN/AE，MH/DF，MNH= ，