1、章末综合检测(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1化简等于()A2B0C2D2答案：C2某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数答案：C3若向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则a(ab)等于()A1 B2 C3 D4解析：a(ab)a2ab112cos 602.答案：B4设点M是线段BC的中
2、点，点A在直线BC外，|4，|，则|()A8 B6 C2 D1解析：由|4，|，而|2|，|2，故选C.答案：C5在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：由()|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形答案：C6设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：若|ab|a|b|，则a与b共线，且a与b反向，故选项A，B不对，选项C正确若a与
3、b同向，则|ab|a|b|，故选项D不对答案：C7已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120解析：根据向量的夹角公式求解，|1，|1，cosABCcos，.，0，180，ABC，30.答案：A8.如图，将两个全等的有一锐角为30的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若xy，则xy()A1 B2C3 D4解析：取AC的中点O，连接OB，OD(图略)ABC与ADC均为直角三角形，OBODAC.又由题意可知BCCDAC，四边形OBCD为菱形22()22，xy2，xy4.故选D.答案：D9已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，a
4、b6，则的值为()A2 B2 C D.解析：设a，b的夹角为，则ab|a|b|cos 6cos 1，即a，b共线且反向，ab，x1x2，y1y2，.答案：C10设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则()A20 B15 C9 D6解析：首先用向量，分别表示向量，然后求数量积.如图所示，由题设知：，|2|236169.答案：C11已知向量a，b满足|a|1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa2b|ab|恒成立，则|b|的取值范围是()A. B.C1，) D(1，)解析：因为|a|1，a与b的夹角为，所以ab|b|cos|b|.把原式|xa2b|ab|平方整理可得：x
5、22|b|x3|b|2|b|10恒成立，所以4|b|24(3|b|2|b|1)0，即(|b|1)(2|b|1)0，即|b|1，故选C.答案：C12已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C. D.解析：以a，b所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由(ac)(bc)0，得(ac)(bc)，故将c的起点放在坐标原点，则终点在以为圆心，以为直径的圆上，如图所示，所以|c|的最大值为.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则b在a方向
6、上的投影是_解析：|a|b|2，a与b的夹角为60，b在a方向上的投影是|b|cos 601.答案：114已知向量a(x，y)(x，yR)，b(1，2)，若x2y21，则|ab|的最大值为_解析：设O(0，0)，P(1，2)，则|ab|111.|ab|的最大值为1.答案：115在等腰RtABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则()_解析：法一：D为边BC的中点，()，()()2(222)(|2|2)|24.法二：如图，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于ABC为等腰直角三角形，且|2，故B(2，0)，C(0，2)由D是BC边的中点知D(1，1)，(2，2
7、)，(1，1)，()4.答案：416设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_解析：令Q(c，d)，由新的运算可得mn，消去x得dsin，yf(x)sin，易知yf(x)的值域是.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)若(sin ，1)，(2sin ，2cos )，其中，求|的最大值解析：(sin ，2cos 1)，|，当cos 1，即0时，|取得最大
8、值3.18(12分)如图，在OAB中，P为线段AB上一点，且xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60，求的值解析：(1)若，则，故xy.(2)若3，则，()224242cos 60223.19(12分)已知e1，e2是平面上的一组基底，ae1e2，b2e1e2.(1)若a与b共线，求的值；(2)若e1，e2是夹角为60的单位向量，当0时，求ab的最大值解析：(1)因为ab，所以存在实数，使得ba，所以解得.(2)因为e1，e2是夹角为60的单位向量，所以e1e2，所以ab(e1e2)(2e1e2)23.又0，)，所以0时，ab取最大值为.20(12分)已知平面向量
9、a(3，4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解析：(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9，12)，c(4，3)(2)m2ab(6，8)(9，12)(3，4)，nac(3，4)(4，3)(7，1)设m，n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.21(12分)平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)，请解答下列问题：(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解析：(1)由题意得(3，2)m(1，
10、2)n(4，1)，所以解得(2)由题意得akc(34k，2k)，2ba(5，2)因为(akc)(2ba)，所以2(34k)(5)(2k)0，所以k.(3)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，ab(2，4)由题意得解得或所以d(3，1)或d(5，3)22(12分)已知O的直径为10，AB是O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在O上运动(异于A，B两点)(1)求证：与点P在O上的位置无关；(2)当与的夹角取何值时，有最大值？解析：(1)证明：AB为O的直径，P为圆上一点，APBP，即0.P为MN的中点，且|20，|10，()()()()()100100.仅与，的夹角有关，而与点P在O上的位置无关(2)由(1)，得100100cos 100.0，当0时，取得最大值0.