1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A.有且只有一条 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有且只有四条解析通径2p2，又|AB|x1x2p，|AB|32p，故这样的直线有且只有两条.答案B2.直线yx3与双曲线1(a0，b0)的交点个数是()A.1 B.2 C.1或2 D.0解析因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点.答案A3.经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则等于()A.3 B. C.或3 D.解析依题意
2、，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.答案B4.抛物线yx2到直线xy20的最短距离为()A. B. C.2 D.解析设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d，x时， dmin.答案B5.已知A，B，P是双曲线1(a0，b0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)根据对称性，得B点坐标为(x1，y1
3、)，因为A，P在双曲线上，所以两式相减，得kPAkPB，所以e2，故e.答案D二、填空题6.已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_.解析由题意得解得椭圆C的方程为1.答案17.已知抛物线yax2(a0)的焦点到准线的距离为2，则直线yx1截抛物线所得的弦长等于_.解析由题设知p2，a.抛物线方程为yx2，焦点为F(0，1)，准线为y1.联立消去x，整理得y26y10，y1y26，直线过焦点F，所得弦|AB|AF|BF|y11y218.答案88.(2017金华月考)过椭圆1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方
4、程是_；此弦的长为_.解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3).即3x4y130.由消去y整理得13x278x1050，x1x26，x1x2，|AB|x1x2|.答案3x4y130三、解答题9.设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程.解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|
5、AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.10.已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2
6、)当AMN的面积为时，求k的值.解(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|又因为点A(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，解得k1.能力提升题组(建议用时：30分钟)11.已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A.1 B. C. D.解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a2，由椭圆的定义，可知|AF
7、2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.答案D12.抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.解析双曲线C2：y21，右焦点为F(2，0)，渐近线方程为yx.抛物线C1：yx2(p0)，焦点为F.设M(x0，y0)，则y0x.kMFkFF，.又yx，y|xx0x0.由得p.答案D13.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.如果直线AF的斜率为
8、，那么|PF|_.解析直线AF的方程为y(x2)，联立得y4，所以P(6，4).由抛物线的性质可知|PF|628.答案814.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0
9、和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.15.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
10、解(1)设Q(x0，4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21).又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23).故MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2.化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.