1、7.4数学建模活动:周期现象的描述课后篇巩固提升基础巩固1.单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为s=6sin2t+6,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为()A.2 sB.1 sC.12 sD.14 s解析由题意,知周期T=22=1 s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为12 s.答案C2.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(x+)+9 500(0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x12y10 0009 500则此楼群在第3季度的平
2、均单价大约是()A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元解析因为y=500sin(x+)+9 500(0),所以当x=1时,500sin(+)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2+)+9 500=9 500,即sin(2+)=0,sin(+)=1,所以2+=m,mZ,+=2+2n,nZ.易得3+=-2+2k,kZ.又当x=3时,y=500sin(3+)+9 500,所以y=9 000.答案C3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(x+)+bA0,0,|2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,
3、7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin4x-4+7(1x12,xN+)B.f(x)=9sin4x-4(1x12,xN+)C.f(x)=22sin4x+7(1x12,xN+)D.f(x)=2sin4x+4+7(1x12,xN+)解析令x=3可排除D,令x=7可排除B,由A=9-52=2可排除C;或由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2=2(7-3)=8,则=4,f(x)=2sin4x+7.当x=3时,y=9,2sin34+7=9,即sin34+=1.|2,=-4.f(x)=2sin4x-4+7(1x12,xN+).答案A4.商场人流量被定
4、义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sint2(t0),则人流量增加的时间段是()A.0,5B.5,10C.10,15D.15,20解析由2k-2t22k+2,kZ,知函数F(t)的单调递增区间为4k-,4k+,kZ.当k=1时,t3,5.因为10,153,5,所以选C.答案C5.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(t+),02,函数图像如图所示,则=.解析根据图像,知16,0,1112,0两点的距离刚好是34个周期,所以34T=1112-16=34.所以T=1,则=2T=2
5、.因为当t=16时,函数取得最大值,所以216+=2+2k,kZ,又02,所以=6.答案66.如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式;(2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间?解(1)由已知可设y=40.5-40cos t(t0),由已知周期为12分钟,可知=212,即=6.所以y=40.5-40cos6t(t0).(2)令y=40.5-40cos6t=60.5,得cos6
6、t=-12,所以6t=23或6t=43,解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).7.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为h=3sin2t+4.(1)求小球开始振动的位置;(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间;(3)经过多长时间小球往返振动一次?(4)每秒内小球能往返振动多少次?解(1)令t=0,得h=3sin4=322,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322 cm处.(2)由题意知,当h=3时,t的最小值为8,即小球第一次上升到最高点的时间为8 s
7、.当h=-3时,t的最小值为58,即小球第一次下降到最低点的时间为58 s.(3)T=22=,即经过约 s小球往返振动一次.(4)f=1T=1,即每秒内小球往返振动1次.8.某港口水深y(单位:米)是时间t(0t24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.t/小时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asin t+b的图像.(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解(1)由已知数据,描出曲线如图:易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,则=2T=6,y=3sin6t+10(0t24).(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米,由y11.5得3sin6t+1011.5,即sin6t12.0t24,06t4.由得66t56或1366t176.化简得1t5或13t17.该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时.