1、2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1一个物体的运动方程为s=1t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒2若f（x）=3，则等于（）A3BC1D13若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）Aa=1，b=2Ba=1，b=2Ca=1，b=2Da=1，b=24设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=（）Ae2BeCDln25下列积分不正确的是（）ABCD6已知
2、函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A1a2B3a6Ca3或a6Da1或a27设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）AB1，0C0，1D，18若函数f（x）=x3+ax2在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C0，+）D（0，+）9设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A2BCD210曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+8=0的最短距离是（）AB2C3D011设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时
3、，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）12已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x），f（0）0，对于任意实数x，有的最小值为（）A2BC3D二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13函数y=x2lnx的单调递减区间为 14已知函数f（x）=f（）sinx+cosx，则f（）= 15由y2=4x与直线y=2x4所围成图形的面积为 16已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图示 x1045f（x
4、）1221下列关于f（x）的命题：函数f（x）的极大值点为0，4；函数f（x）在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点；函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是 三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项an；（2）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn18在三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2ac）cosB（）求B的大小（
5、）若、a+c=4，求三角形ABC的面积19已知椭圆=1（ab0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2（1）求椭圆的方程；（2）求CDF2的面积20设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为8，其导函数y=f（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x3，3都有f（x）m214m恒成立，求实数m的取值范围21已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x0，其中a0（）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围22已知函数，g（x）=x+lnx，
6、其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1一个物体的运动方程为s=1t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【考点】62：导数的几何意义【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可【解答】解：s=1t+
7、t2，s=1+2t，把t=3代入上式可得s=1+23=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C2若f（x）=3，则等于（）A3BC1D1【考点】6F：极限及其运算【分析】由=f（x0），由题意，即可求得答案【解答】解： =f（x0）=3=1，故选C3若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）Aa=1，b=2Ba=1，b=2Ca=1，b=2Da=1，b=2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由y=x2+ax+b，知y=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为xy+1=0，求出a和b【解答】解：y=x2+ax+
8、b，y=2x+a，y|x=1=2+a，曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为yb=（2+a）（x1），曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为xy+1=0，a=1，b=2故选B4设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=（）Ae2BeCDln2【考点】65：导数的乘法与除法法则【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f（x0）=2解方程即可【解答】解：f（x）=xlnxf（x0）=2lnx0+1=2x0=e，故选B5下列积分不正确的是（）ABCD【考点】68：微积分基本定理【分析】利用微积分基本定理即可得出【解答】解：A. = =ln3，因此正确；B=2故B不
9、正确=，因此正确；D. = = =因此正确综上可知：只有B不正确故选B6已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A1a2B3a6Ca3或a6Da1或a2【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，利用导数有两个不相等的实数根，通过0，即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极值，所以导函数有两个不相等的实数根，即0，（2a）243（a+6）0，解得：a3或a6，故选：C7设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点
10、P横坐标的取值范围是（）AB1，0C0，1D，1【考点】62：导数的几何意义【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围【解答】解：设点P的横坐标为x0，y=x2+2x+3，y=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tan（为点P处切线的倾斜角），又，02x0+21，故选：A8若函数f（x）=x3+ax2在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C0，+）D（0，+）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】由已知，f（x）=3x20在1，+）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范
11、围【解答】解：f（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f（x）0在1，+）上恒成立，即a3x2，恒成立，只需a大于3x2 的最大值即可，而3x2 在1，+）上的最大值为3，所以a3即数a的取值范围是3，+）故选A9设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A2BCD2【考点】62：导数的几何意义【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1k2=1，求出未知数a【解答】解：y=y=x=3y=即切线斜率为切线与直线ax+y+1=0垂直直线ax+y+1=0的斜率为a（a）=1得a=2故选D10曲线y=l
12、n（2x1）上的点到直线2xy+8=0的最短距离是（）AB2C3D0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3H：函数的最值及其几何意义；IT：点到直线的距离公式【分析】在曲线y=ln（2x1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2xy+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解【解答】解：设曲线y=ln（2x1）上的一点是P（ m，n），则过P的切线必与直线2xy+8=0平行由，所以切线的斜率解得m=1，n=ln（21）=0即P（1，0）到直线的最短距离是d=故选B11设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x
13、）g（x）0，且g（3）=0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】先根据f（x）g（x）+f（x）g（x）0可确定f（x）g（x）0，进而可得到f（x）g（x）在x0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x0时也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x0时，F（x）=f（x）g（x）+f （x）g（x）0F（x）在当x0时为增函数F（x）=f （x）g （x）=f （x）g （x）=F（x
14、）故F（x）为（，0）（0，+）上的奇函数F（x）在（0，+）上亦为增函数已知g（3）=0，必有F（3）=F（3）=0构造如图的F（x）的图象，可知F（x）0的解集为x（，3）（0，3）故选D12已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x），f（0）0，对于任意实数x，有的最小值为（）A2BC3D【考点】63：导数的运算；3R：函数恒成立问题；7F：基本不等式【分析】由对于任意实数x，f（x）0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值【解答】解：f（x）0，知，c又f（x）=2ax+b，f（0）=b0，f（1）=a+b+
15、c1+=1+=2当且仅当4a2=b2时，“=”成立故选A二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13函数y=x2lnx的单调递减区间为（0，1【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y=x=，令其导数小于等于0，可得0，结合函数的定义域，解可得答案【解答】解：对于函数，易得其定义域为x|x0，y=x=，令0，又由x0，则0x210，且x0；解可得0x1，即函数的单调递减区间为（0，1，故答案为（0，114已知函数f（x）=f（）sinx+cosx，则f（）=0【考点】63：导数的运算【分析】求函数的导数，先求出f（）的值即可得到结论【解答】
16、解：函数的导数为f（x）=f（）cosxsinx，令x=，得f（）=f（）cossin=1，则f（x）=sinx+cosx，则f（）=sin+cos=，故答案为：015由y2=4x与直线y=2x4所围成图形的面积为9【考点】67：定积分【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2y2）dy=（y2+2y）|=9，故答案为：916已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f（x）的
17、图象如图示 x1045f（x）1221下列关于f（x）的命题：函数f（x）的极大值点为0，4；函数f（x）在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点；函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得，正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x1，t函数f（x）的最大值是4，当2t5，所以t的最大值为5，所以不正确；由f（
18、x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）a有几个零点，所以不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论【解答】解：由导数图象可知，当1x0或2x4时，f（x）0，函数单调递增，当0x2或4x5，f（x）0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以正确；正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x1，t函数f（x）的最大值是4，当2t5，所以t的最大值为5，所以不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）a有几
19、个零点，所以不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）1或1f（2）2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以正确，综上正确的命题序号为故答案为：三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项an；（2）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn【考点】8E：数列的求和【分析】（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此
20、能求出等差数列的通项公式（2）由an=2n，bnan是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式，能求出数列bn的通项公式，再利用分组求和法能求出数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）等差数列an满足a3=6，a4+a6=20，解得，（2）an=2n，bnan是首项为1，公比为3的等比数列，18在三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2ac）cosB（）求B的大小（）若、a+c=4，求三角形ABC的面积【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（）根据正弦定理得： =2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化
21、简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；（）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积【解答】解（）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosBcosBsinC2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA02sinAcosB=sinA，即，得（）b2=7=a2+c22accosB7=a2+c2ac又（a+c）2=16=a2
22、+c2+2acac=3即19已知椭圆=1（ab0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2（1）求椭圆的方程；（2）求CDF2的面积【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=2x2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1x2|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到CDF2的面积【解答】解：（1）椭圆=1（ab0）的一个顶点
23、为A（0，1），离心率为，b=1，且=，解之得a=，c=1可得椭圆的方程为； （2）左焦点F1（1，0），B（0，2），得F1B直线的斜率为2直线F1B的方程为y=2x2由，化简得9x2+16x+6=0=162496=400，直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），则|CD|=|x1x2|=又点F2到直线BF1的距离d=，CDF2的面积为S=|CD|d=20设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为8，其导函数y=f（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x3，3都有f（x）m214m恒成立，求实数m的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极
24、值；36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题【分析】（1）求出y=f（x），因为导函数图象经过（2，0）和（，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为8可得f（2）=8，解出即可得到a、b、c的值；（2）根据函数增减性求出函数在区间3，3的最小值大于等于m214m，即可求出m的范围【解答】解：（1）f（x）=3ax2+2bx+c，且y=f（x）的图象经过点（2，0），f（x）=ax3+2ax24ax，由图象可知函数y=f（x）在（，2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由f（x）极小值=f（2）=a（2）3+2a（2）24a（
25、2）=8，解得a=1f（x）=x32x2+4x（2）要使对x3，3都有f（x）m214m恒成立，只需f（x）minm214m即可由（1）可知函数y=f（x）在3，2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减且f（2）=8，f（3）=33232+43=338f（x）min=f（3）=3333m214m3m11故所求的实数m的取值范围为m|3m1121已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x0，其中a0（）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭
26、区间上函数的最值【分析】（）对函数求导，令f（1）=0，即可解出a值（）f（x）0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间a2时，在区间（0，+）上是增函数，（）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0a2时，判断知最小值小于1，此时a无解当0a2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为【解答】解：（），f（x）在x=1处取得极值，f（1）=0 即 a+a2=0，解得 a=1（），x0，a0，ax+10当a2时，在区间（0，+）上f（x）0f（x）的单调增区间为（0，+）当0a2时，由f（x）0解得由f（x）的单调减区间为，单调
27、增区间为（）当a2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0a2时，由（II）知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是2，+）22已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a0，可得，再检验即可； （2）通过分析已知条件等价于对任意的x
28、1，x21，e都有f（x）ming（x）max结合当x1，e时及可知g（x）max=g（e）=e+1利用，且x1，e，a0，分0a1、1ae、ae三种情况讨论即可【解答】解：（1），g（x）=x+lnx，其定义域为（0，+）， x=1是函数h（x）的极值点，h（1）=0，即3a2=0a0， 经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，；（2）对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max当x1，e时，函数g（x）=x+lnx在1，e上是增函数g（x）max=g（e）=e+1，且x1，e，a0当0a1且x1，e时，函数在1，e上是增函数，由1+a2e+1，得a，又0a1，a不合题意；当1ae时，若1xa，则，若axe，则函数在1，a）上是减函数，在（a，e上是增函数f（x）min=f（a）=2a由2ae+1，得a，又1ae，ae；当ae且x1，e时，函数在1，e上是减函数由e+1，得a，又ae，ae；综上所述：a的取值范围为2017年7月1日
