1、突破练(四)1已知函数f(x)2cos2xsin 2x，xR.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h(x)的图象，再将h(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式，并求g(x)在0，上的值域解(1)f(x)2cos 2xsin 2x1cos 2xsin 2x，f(x)2sin (2x)1.由2k2x2k，kZ.得kxk，kZf(x)的单调递增区间为，kZ.(2)f(x)2sin (2x)1h(x)2sin 1，x0，x，sin (x)，1g(x)在0，上的值域为0,32今年年初，我国多个地区发
2、生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄(岁)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75频数510151055赞成人数469634(1)完成被调查人员的频率分布直方图；(2)若从年龄在15,25)，25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的
3、人数为，求随机变量的分布列和数学期望解各组的频率分布是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1.所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02，0.01，0.01.(2)的所有可能取值为0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列是0123P所以的数学期望E().3如图所示，平面ABCD平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BFCE，BCCE，DCCE4，BCBF2.(1)求证：AF平面CDE；(2)求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值(1)证明法一取CE的中点为G，
4、连接DG，FG.BFCG且BFCG，四边形BFGC为平行四边形，则BCFG，且BCFG.四边形ABCD为矩形，BCAD且BCAD，FGAD且FGAD，四边形AFGD为平行四边形，则AFDG.DG平面CDE，AF平面CDE，AF平面CDE.法二在矩形ABCD中有ABCD，CD平面CDE，AB平面CDE，AB平面CDE.在梯形BCEF中有BFCE.CE平面CDE，BF平面CDE，BF平面CDE.又ABBFB，且AB平面ABF，BF平面ABF，平面ABF平面CDE.又AF平面ABF，AF平面CDE.(2)解四边形ABCD为矩形，BCCD，又平面ABCD平面BCEF，且平面ABCD平面BCEFBC，B
5、CCE，DC平面BCEF.以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意我们可得以下点的坐标：A(2,0,4)，B(2,0,0)，C(0,0,0)，D(0,0,4)，E(0,4,0)，F(2,2,0)，则(2,0,0)，(0,4，4)设平面ADE的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则取z11，得n1(0,1,1)DC平面BCEF.平面BCEF的一个法向量为(0,0,4)设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则cos ，因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为.(3)解根据(2)知平面ADE的一个法向量为n1
6、(0,1,1)，(2，2,0)，cos ，n1，设直线EF与平面ADE所成的角为，则cos |sin ，n1|，因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为.4已知数列an的前n项和Snann21，数列bn满足3nbn1(n1)an1nan，且b13.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列bn的前n项和，求Tn.解(1)当n2时，Snann21，Sn1an1(n1)21，两式相减，得ananan12n1，an12n1，an2n1，3nbn1(n1)(2n3)n(2n1)4n3，bn1.当n2时，bn，又b13适合上式，bn.(2)由(1)知，bn，Tn，Tn，得Tn3345，Tn.5已知椭圆C1
7、：1(ab0)的短轴长为单位圆C2：x2y21的直径，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A，B两点(A，B两点均在y轴的右侧)，设B2为椭圆的短轴的下顶点，求AB2B的最大值解(1)由题知b1，又e，得a23，椭圆的方程为y21.(2)由(1)得B1(0,1)，B2(0，1)，设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为ykx1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率k1.把ykx1代入C1得B(，)，由题意易知k0，且直线B2B的斜率为k2，所以k1，k20，且k13k2，又B2AB是直角三角形，所以AB2B必为锐角，因为
8、与的方向向量分别为(1，k1)，(1，k2)，所以(1，k1)(1，k2)13k，又cos AB2B，从而cos AB2B，当且仅当k2时，cos AB2B取得最小值，由AB2B为锐角得AB2B的最大值为.6已知函数f(x)ax2(a1)2xa23a1ex(aR)(1)若函数f(x)在(2,3)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a0，设g(x)ln xx，斜率为k的直线与曲线yg(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1x2)两点，证明：(x1x2)k2.(1)解 f(x)ex，当a0时，x(2,3)，f(x)在(2,3)上单调递增；当a0，f(x)在(2,3)上单调递增，f(x)a(xa)(x)ex0，)当1a0时，得ax，依题意知(2,3)，得a0；)当a1时，f(x)(x1)2ex0，不合题意，舍去；)当a1时，得xa依题意知(2,3)，得a3.综上得：a(，3.(2)证明当a0时，g(x)ln xxln x1，k，要证(x1x2)k2，即证(x1x2)2，x2x10，即证ln(1)令h(x)ln x(x1)，则h(x)0，h(x)在(1，)单调递增，h(x)h(1)0.ln.即(x1x2)k2成立
