1、课时质量评价(五十二)A组全考点巩固练1椭圆1(ab0)的离心率，则双曲线1的离心率为()A2 BC DD解析：椭圆离心率e1，所以e1，即，所以双曲线的离心率e故选D2已知AB是过抛物线y24x焦点F的弦，O是原点，则()A2 B4 C3 D3D解析：设A，B，故y1y2易知直线斜率不为0，设AB：xmy1联立方程得到y24my40，故y1y24，故y1y23故选D3直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则直线l过定点()A(3,0) B(0，3)C(3,0) D(0,3)A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2、因为k1k2，所以又y2x1，y2x2，所以y1y26将直线l：xmyb代入抛物线C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直线l的方程为xmy3，所以直线l过定点(3,0)4已知直线l过抛物线C：x26y的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若，则|AB|()A8 B9 C11 D16A解析：过A作准线的垂线，垂足为H(图略)，则|AF|AH|又，所以|AH|AP|，所以kAP又f ，所以AB的方程为yx由得y25y0，所以yAyB5，所以|AB|yAyBp538故选A5已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为P，任意一条平行于x轴的直线交C于A，B两点，总有PA
3、PB，则双曲线C的离心率为()A B C DA解析：设A(x0，y0)，B(x0，y0)，则yb2又P(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)由已知PAPB，则xa2y0，即(a2b2)0，对于x0a或x0a恒成立，故a2b2，即ab，所以e故选A6(多选题)(2022青岛调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(，0)和F2(，0)连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：yk(x2)与E交于A，B两点，则下列结论中正确的为()A曲线E的方程为y21(x)B曲线E的离心率为C曲线E的渐近线与圆(x2)2y21相切D满足|AB|2的直线l仅有1条AC解析：设点P(x，
4、y)，由已知得，整理得y21，所以点P的轨迹即曲线E的方程为y21(x)，故A正确；又离心率e，故B错误；圆(x2)2y21的圆心(2,0)到曲线E的渐近线yx的距离为d1，又圆(x2)2y21的半径为1，故C正确；因为(2,0)为双曲线y21的右焦点，且x2时，y，所以过右焦点的双曲线最短的弦(通径)为，又两顶点间距离为2，所以满足|AB|2的直线有3条，故D错误故选AC7已知双曲线1(a0，b0)的左、右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点若PAB为等腰三角形，PAB120，则双曲线的离心率为_解析：如图所示，过点P作PDx轴，垂足为D因为PAB为等腰三角形，所以|PA|AB|2a，又因为
5、PAB120，所以PAD60|PD|PA|sin 60a，|AD|PA|cos 60a，故P(2a，a)因为点P(2a，a)在双曲线1上，所以1，即1e8已知双曲线1(a0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2若直线AB过原点，则k1k2的值为_3解析：由题意知，e2b23a2，则双曲线方程可化为3x2y23a2设A(m，n)，M(x，y)(xm)，则B(m，n)，k1k239(2021河北唐山质检)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，直线l：xty1交E于A，B两点当t0时，|AB|(1)求椭圆E的方程；(2)设A在直线x3上的射影
6、为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标(1)解：由题意得e2，整理得a23b2，由t0时，|AB|，得1，因此a，b1故椭圆E的方程是y21(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)，将xty1代入y21得(t23)y22ty20，y1y2，y1y2，从而ty1y2y1y2直线BD：y(x3)y1，设直线BD与x轴的交点为(x0,0)，则(x03)y10，所以x0333，将式代入上式可得x02，故直线BD过定点(2,0)B组新高考培优练10已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则()A4 B2
7、 C2 D3A解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1，F2分别为左、右焦点，不妨设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2又|F1F2|2c，F1PF2，所以在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化简得3aa4c2，两边同除以c2，得4故选A11已知直线xy10与双曲线1(ab0)相交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，则()A1 B C2 DC解析
8、：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立方程整理得(ab)x22axaab0，所以x1x2，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1由OPOQ，得0，得x1x2y1y20，所以0，即1，则，所以2故选C12已知F为椭圆C：1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于x轴上方，点A(3,4)若直线OA平分线段PF，则PAF的大小为()A60 B90C120 D无法确定B解析：设椭圆的上顶点为B(0,4)，因为A(3,4)，F(3,0)故AFx轴，ABy轴则四边形ABOF为矩形，所以当P在点B处时满足直线OA平分线段PF故PAFBAF9013已知椭圆C：1(ab0)的左、右
9、焦点分别为F1，F2，点A，B分别为椭圆的上、下顶点，直线AF1与椭圆C的另一个交点为E若F1AF260，则直线BE的斜率为_解析：由F1AF260，得a2c，bc设E(m，n)，则有1，则因为A(0，b)，B(0，b)，所以kEAkEB又kEAkAF1，所以kEB14直线l与抛物线y24x交于不同两点A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)若y1y236，则直线l恒过点的坐标是_(9,0)解析：设直线l的方程为xmyn，则由得y24my4n0，所以又y1y236，所以4n36，所以n9，所以直线l的方程为xmy9，恒过点(9,0)15已知椭圆C的方程为1，A是椭圆上的一点，且A在第一象
10、限内，过A且斜率等于1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D(1)证明：直线BD的斜率为定值；(2)求ABD面积的最大值(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，直线BD的斜率k，由两式相减得因为kAB1，所以k，故直线BD的斜率为定值(2)解：连接OB(图略)，因为A，D关于原点对称，所以SABD2SOBD，由(1)可知BD的斜率k，设BD的方程为yxt因为D在第三象限，所以t1且t0，O到BD的距离d由整理得3x24tx4t280，(4t)243(4t28)0(t1且t0)，所以x1x2，x1x2，所以SABD2SOBD2|BD|d|t|t|2所以
11、当且仅当t时，SABD取得最大值216已知曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，且曲线C2的离心率为(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k14k20时，直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解：(1)曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，所以r2，b2，所以曲线C1的方程为x2y24因为曲线C2的离心率为，所以e21，所以a4，所以曲线C2的方程1(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为yk1x2，代入到x2y24中消去y，可得(1k)x24k1x0，解得x0或x1，所以y1直线PB的方程为yk2x2，代入方程1，消去y，可得(14k)x216k2x0，解得x0或x2，所以y2因为k14k2，所以直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，即yx2，所以直线AB恒过定点(0,2)