1、第3讲不等式1.(1)2017山东卷 若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.(2)2018天津卷 已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.试做_命题角度利用基本不等式求最值关键一,确定定值式(已知中是和为定值还是积为定值);关键二,将待求式变形,利用基本不等式转换成定值式.2.(1)2018全国卷 若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.(2)2017全国卷 设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为.试做_命题角度求线性目标函数的最值关键一,直线定界,特殊点定域;关键二,在目标函数z=ax+by中,若b0,则纵截距取最大(小)值时z取最大(小)
2、值,若b0,则纵截距取最大(小)值时z取最小(大)值;关键三,注意可行域是否包含边界,线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界处取得.3.2016全国卷 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.试做_命题角度线性规划实际应用问题关键一,将实际问题转化为数学模型
3、;关键二,设出未知量,写出约束条件和目标函数;关键三,求出最优解和其他要求的解.注意实际问题中所设未知量的实际取值范围.小题1不等式的性质及解法1 (1)已知abB.2bD.a3b3(2)已知当-1a1时,x2+(a-4)x+4-2a0恒成立,则实数x的取值范围是.听课笔记 _【考场点拨】高考常考不等式的易失分点:一元二次不等式是利用二次函数的图像和性质去求解的,但注意图像的开口方向会影响x的取值范围;解分式不等式、高次不等式可转化为一元二次不等式或利用数轴标根法去解决,有时解分式不等式会忽略分母不等于零的情况.【自我检测】1.设集合M=x|x2-x0,N=x1,则()A.MNB.NMC.M=
4、ND.MN=R2.不等式|x|(2x-1)0的解集是()A.-,B.(-,0)0,C.-,+D.0,3.已知p:x,q:0,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.18D.24(2)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取得最小值时,a+b-c的最大值为()A.2B.C.D.听课笔记 _【考场点拨】高考中使用基本不等式求最值的易失分点: (1)基本不等式a+b2成立的条件是a0,b0,而不等式a2+b22ab对任意实数a,b都成立,因此在使用时要注意其前提条件;(2)多次使用基本不等式时,要考虑等号是不是能同时成立;(3)对于x+(a0)型不等式,不能简单地
5、利用基本不等式求得x+2,而是要判断x的取值范围能否使x+取到最小值2,若不能,则需要利用函数的单调性计算其最小值.【自我检测】1.已知a,b均为正实数,且a+b=3,则+的最小值为()A.B.C.D.2.已知x0,y0,2x+3xy=6,则2x+3y的最小值为()A.3B.4-2C.D.3.若函数f(x)=ln x+1的图像的一条切线是y=ax+b,则4a+eb的最小值是()A.2B.2C.4D.4小题3线性规划问题角度1求直线型目标函数的范围3 若x,y满足则z=x+y的最大值是()A.1B.C.2D.听课笔记 _【考场点拨】高考中求直线型目标函数范围的注意点:(1)直线型目标函数也称截距
6、型目标函数,z=ax+byy=-x+,z与直线的纵截距相关联.若b0,则和z的最值情况一致;若b0,则和z的最值情况相反.(2)一定要注意b的正负,否则求得的值可能不是所求最值.角度2求斜率型目标函数的范围4 设x,y满足约束条件则的取值范围是()A.-3,B.-3,1C.-4,1D.(-,-31,+)听课笔记 _【考场点拨】高考中求斜率型目标函数范围的注意点:(1)斜率型目标函数也称分式型目标函数,z=表示点(a,b)与点(x,y)连线的斜率,常见的变形有a=ak,1+=1+k,=;(2)一定要注意斜率不存在的情况下目标函数的取值范围,这种情况很容易出错.角度3含参数的线性规划问题5 已知实
7、数x,y满足约束条件若z=ax+y的最小值为-8,则实数a=.听课笔记 _【考场点拨】含参数的线性规划问题,参数位置一般有两种形式:一是目标函数中含有参数,这时可以准确作出可行域,这类问题的一般特征是其最优解是可知的,因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化;二是在约束条件中含有参数,可行域的边界线一般有一条是动态的,所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理,有时还需进行分类讨论.【自我检测】1.2017全国卷 设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是()A.-3,0B.-3,2C.0,2D.0,32.若点P(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的动点,则的最大值为()A.1B
8、.2C.3D.-3.已知实数x,y满足若z=x2+y2,则z的最小值为()A.1B.C.D.4.若不等式组所表示的平面区域被直线l:mx-y+m+1=0分为面积相等的两部分,则m=()A. B.2C.- D.-2第3讲不等式 典型真题研析1.(1)8(2)解析 (1)由条件可得+=1,所以2a+b=(2a+b)+=4+4+2=8,当且仅当=,即b=2a时取等号,所以最小值为8.(2)由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+2=(当且仅当a=-3b=-3时取等号).2.(1)9(2)-5解析 (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y=-x+z经过点A(5,4)时,直线的纵截距z
9、最大,所以zmax=5+4=9. (2)已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y,得y=x-,当z最小时,-最大,故在点A处目标函数取得最小值.由解得所以zmin=-3-2=-5.3.216 000解析 设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,则即目标函数为z=2100x+900y.作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.解方程组得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,zmax=210060+900100=216 000. 考点考法探究
10、小题1 例1(1)A(2)(-,1)(3,+)解析 (1)由ab0,可得0,所以A恒成立;由ab-b0,所以,B不成立;由指数函数y=2x为增函数,且ab0,可知2a2b,所以C不成立;由不等式的性质可知,若ab0,则a30恒成立,即解得x3或x0=x|x1或x0,N=x1或x0,故M=N.2.A解析 因为|x|0,所以|x|=0或2x-10,解得x.故选A.3.A解析 由x得-1x1,所以p:-1x1.由1得x1,所以q:x1.显然pq,而qp.故选A.小题2 例2(1)B(2)C解析 (1)a0,b0,且不等式+恒成立,m(a+3b)+min,又(a+3b)+=6+6+2=12,当且仅当a
11、=3b时取等号,m的最大值为12.(2)由正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,故=+-12-1=3,当且仅当a=2b时取等号,则a=2b时,取得最小值,此时c=6b2,a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6b-2+,当b=时,a+b-c取得最大值.【自我检测】1.C解析 a+b=3,+=+(a+b)=2+,又a,b均为正实数,+2=2,当且仅当a=b=时取等号,2+,即+的最小值为,故选C.2.B解析 由x0,y0,2x+3xy=6,可得0x0,f(x)=,f(m)=,故切线方程为y-(ln m+1)=(x-m),即y=x+ln m,a=,b
12、=ln m,故4a+eb=+m2=4,当且仅当m=2时取等号.故选C.小题3 例3B解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,由图可知,当直线y=-x+z经过点A,时,z取得最大值,所以zmax=+=,故选B.例4B解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,表示可行域内的点与点A(-6,-4)连线的斜率.由图可知kADkAC.由得C(-1,1),由得D(-5,-7),所以的取值范围是-3,1,故选B. 例5-2解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,易知O(0,0),A(0,1),B(2,2),C(4,0).由z=ax+y得y=-ax+z,易知a0.当a0时,平
13、移直线y=-ax+z,结合图形得当直线经过点O(0,0)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=0,不符合题意.综上可得a=-2.【自我检测】1.B解析 由题意,画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数为z=x-y,则直线y=x-z的纵截距越大,z的值越小,纵截距越小,z的值越大.由图可知,当直线y=x-z过点A(0,3)时z取得最小值,故zmin=0-3=-3;当直线y=x-z过点B(2,0)时z取得最大值,故zmax=2-0=2.2.A解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示,表示动点P(x,y)与原点连线的斜率,由图可知直线OB的斜率最大.由解得即B(2,2),则的最大值
14、为1,故选A.3.D解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.z=x2+y2可以看作是可行域内的点(x,y)到原点的距离的平方.由得A.因为,所以zmin=|OA|2=+=.故选D.4.A解析 画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,易得A(-1,1),B,-,C(4,6).因为直线l:y=m(x+1)+1过定点A(-1,1),且直线l平分ABC的面积,所以直线l过边BC的中点D,易得D,代入mx-y+m+1=0,得m=,故选A.备选理由 例5是点到点距离的线性规划问题,没有涉及点到线的距离问题,备用例1是对本类型的一种补充.例补充使用 已知实数x,y满足不等式组则|x-y|的最大值为()A.0B.2C.4D.8解析 C不等式组表示的可行域如图所示.|x-y|=,它表示可行域内的点到直线x-y=0的距离的倍,由图可知点A(4,0)到直线x-y=0的距离最大,所以|x-y|的最大值为=4.故选C.