1、2015-2016学年福建省福州市华侨中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若角600的终边上有一点（4，a），则a的值是（）ABCD2若，是第三象限的角，则=（）ABCD3给出下列几个式子：（1）tan25+tan35+tan25tan35；（2）；（3）2（sin35cos25+sin55cos65）；（4）其中结果为的式子的个数是（）A1B2C3D44若=（）ABCD5已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题正确的是（）lm；lm；lm；lmABCD6如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C1
2、2D187在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）8若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A24B25C28D309如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（）ABCD10在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|=|=2，则点集P|=+，|+|1，R所表示的区域的面积是（）ABCD11已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A0条B1条C2条D3条12数列an满足an+1+（1）nan=2n
3、1，则an的前60项和为（）A3690B3660C1845D1830二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13下列说法中，所有正确说法的序号是终边在y轴上的角的集合是；函数y=sinx在第一象限是增函数；函数y=sin4xcos4x的最小正周期是；把函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图象14一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是15若不等式x2kx+k10对x（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是16如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=a（a0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x， =y，对于函数y
4、=f（x），给出以下三个结论：当a=2时，函数f（x）的值域为1，4；a（0，+），都有f（1）=1成立；a（0，+），函数f（x）的最大值都等于4其中所有正确结论的序号是三、解答题（共6小题，满分70分）17已知向量，其中（xR，0），函数的最小正周期为，最大值为3（I）求和常数a的值；（）求函数f（x）的单调递增区间18已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=（1）求cos（）的值；（2）若0，0，且sin=，求sin19已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cos，sin），（1）若，求角的值；（2）若，求的值20如图，在三棱锥VABC中，平面VA
5、B平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积21如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2将AED和BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点（1）求证：GH平面DEM；（2）求证：EMCN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小22已知：数列an的前n项和为Sn，且2an2n=Sn，（1）求证：数列ann2n1是等比数列；（
6、2）求：数列an的通项公式；（3）若数列bn中bn=，求：bn的最小值2015-2016学年福建省福州市华侨中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若角600的终边上有一点（4，a），则a的值是（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义【分析】先利用诱导公式使tan600=tan60，进而根据求得答案【解答】解：，故选A2若，是第三象限的角，则=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系【分析】根据的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案【解答】
7、解：是第三象限的角sin=，所以sin（+）=sincos+cossin=故选A3给出下列几个式子：（1）tan25+tan35+tan25tan35；（2）；（3）2（sin35cos25+sin55cos65）；（4）其中结果为的式子的个数是（）A1B2C3D4【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正切【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式化简各个式子，求得结果，从而得出结论【解答】解：（1）tan25+tan35+tan25tan35=tan60（1tan25tan35）+tan25tan35=；（2）=tan（45+15）=；（3）2（sin35cos25+sin55cos65）=
8、2sin（35+25）=；（4）=tan（2）=tan=；故选：D4若=（）ABCD【考点】二倍角的余弦；诱导公式的作用【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（），再利用二倍角的余弦公式进一步化为21，把已知条件代入运算求得结果【解答】解：=cos=cos（）=21=21=，故选：C5已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题正确的是（）lm；lm；lm；lmABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案【解答】解：l平面，直线m平面若，则l平面，有lm，正确；如图，由图可知不正确；直线l平面，lm，m，又m平面，正确；由图可知不正确正确的
9、命题为故选：D6如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为4；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=634=12故选C7在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【考点】正弦定理；余弦定理【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进
10、而求得A的范围【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosA=AA0A的取值范围是（0，故选C8若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A24B25C28D30【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y=（3x+4y）=13+13+2=25，当且仅当x=2y=5时取等号3x+4y的最小值为25故选：B9如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（）ABCD【考点】
11、球内接多面体；球的体积和表面积【分析】根据题意建立方程组，解出长方体的长、宽、高分别为，1，从而算出长方体的对角线长l=，可得外接球的直径，即可算出长方体外接球的半径【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，长方体共顶点的三个面的面积分别是，xy=，yz=，xz=，解之得x=，y=1，z=，可得长方体的对角线长l=设长方体外接球的半径为R，则2R=l=，可得R=，故选：B10在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|=|=2，则点集P|=+，|+|1，R所表示的区域的面积是（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模【分析】由两定点
12、A，B满足=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及，表示，把不等式|+|1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积【解答】解：由两定点A，B满足=2， =，则|2=（）2=2+=4，则|=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形不妨设A（），B（）再设P（x，y）由，得：所以，解得由|+|1所以等价于或或或可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为故选D11已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且
13、互相平分的线段MN有（）A0条B1条C2条D3条【考点】棱柱的结构特征【分析】先由MN与DB1相交，利用平面的基本性质证明点N一定在线段BD上，从而点N的位置确定，再由MN与B1D互相平分，在矩形DBB1D1内可知M必为B1D1的中点，从而点M确定，故线段MN确定【解答】解：MN与DB1相交，故MN在平面D1B1D，即平面DBB1D1内，点N定在BD上N为线段AC上的动点，故点N定为AC与BD的交点O，MN与B1D互相平分，在矩形DBB1D1内可知M必为B1D1的中点O1符合条件的线段MN只有一条即OO1故选B12数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为（）A3690B
14、3660C1845D1830【考点】数列的求和【分析】由题意可得 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，利用数列的结构特征，求出an的前60项和【解答】解：由于数列an满足an+1+（1）n an=2n1，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a
15、5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158+）=1830，故选D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13下列说法中，所有正确说法的序号是终边在y轴上的角的集合是；函数y=sinx在第一象限是增函数；函数y=sin4xcos4x的最小正周期是；把函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图象【考点】命题的真假判断与应用【分析】终边在y轴上的角的集合是；
16、因为第一象限角描述的是角的位置，而角的大小不能确定，故函数y=sinx在第一象限是增函数不正确；函数y=sin4xcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）=cos2x，最小正周期是；把函数的图象向右平移个单位长度得到y=3sin（2）+=3sin2x的图象【解答】解：终边在y轴上的角的集合是，故不正确；因为第一象限角描述的是角的位置，而角的大小不能确定，故函数y=sinx在第一象限是增函数不正确；函数y=sin4xcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）=cos2x，最小正周期是，正确；把函数的图象向右平移个单位长度得到y=3sin（2）+=3sin
17、2x的图象，故正确故答案为：14一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】通过侧面展开图是一个边长为1的正方形，求出底面半径，求出圆柱的高，然后求圆柱的体积【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，该圆柱的高h=1，底面周长2r=1，底面半径r=，该圆柱的体积V=1=故答案为：15若不等式x2kx+k10对x（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（，2【考点】一元二次不等式的应用【分析】根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围【解答】解：不等式x2kx+k10可化为（1x）k1x2x（1，2）k=1+xy=
18、1+x是一个增函数k1+1=2实数k取值范围是（，2故答案为：（，216如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=a（a0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x， =y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：当a=2时，函数f（x）的值域为1，4；a（0，+），都有f（1）=1成立；a（0，+），函数f（x）的最大值都等于4其中所有正确结论的序号是【考点】平面向量数量积的运算【分析】通过建立如图所示的坐标系，可得y=f（x）=（a2+1）x2（4+a2）x+4x0，1通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系在直角梯
19、形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=a（a0），B（0，0），A（2，0），D（1，a），C（0，a）=x，（0x1）=（2，0）+x（1，a）=（x2，xa），=（0，a）（x2，xa）=（2x，axa）y=f（x）=（2x，xa）（2x，axa）=（2x）2ax（axa）=（a2+1）x2（4+a2）x+4当a=2时，y=f（x）=5x28x+4=，0x1，当x=时，f（x）取得最小值；又f（0）=4，f（1）=1，f（x）max=f（0）=4综上可得：函数f（x）的值域为因此不正确由y=f（x）=（a2+1）x2（4+a2）x+4可得：a（0，+），都有f（1）=
20、1成立，因此正确；由y=f（x）=（a2+1）x2（4+a2）x+4可知：对称轴x0=当0a时，1x0，函数f（x）在0，1单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4当时，0x01，函数f（x）在0，x0）单调递减，在（x0，1上单调递增又f（0）=4，f（1）=1，f（x）max=f（0）=4因此正确综上可知：只有正确故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17已知向量，其中（xR，0），函数的最小正周期为，最大值为3（I）求和常数a的值；（）求函数f（x）的单调递增区间【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性【分析】（I）利用数量积化简函数，通过二
21、倍角、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，利用周期求出，通过最大值求出a的值；（）结合（I）得到函数的表达式，利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间【解答】解：（I）=由，得=1又当时ymax=2+a1=3，得a=2（）由（I）知当即故f（x）的单调增区间为，（kZ）18已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=（1）求cos（）的值；（2）若0，0，且sin=，求sin【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【分析】（1）=1，同理=1利用数量积运算性质|=，可得=，展开即可得出；（2）由0，0，且sin=，可得0，s
22、in（）=再利用sin=sin（）+展开即可得出【解答】解：（1）=1，同理=1|=，=，化为22（coscos+sinsin）=，cos（）=（2）0，0，且sin=，0， =sin（）=sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=19已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cos，sin），（1）若，求角的值；（2）若，求的值【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tan的值，根据的范围求得（2）根据向量的基本运算根据求得sin和cos的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由
23、可确定答案【解答】解：（1），化简得tan=1（2），（cos3，sin）（cos，sin3）=1，20如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）利用三角形的中位线得出OMVB，利用线面平行的判定定理证明VB平面MOC；（2）证明：OC平面VAB，即可证明平面MOC平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥VABC的体积【解答】（1）证明：O，M分别
24、为AB，VA的中点，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（2）AC=BC，O为AB的中点，OCAB，平面VAB平面ABC，OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面VAB，VCVAB=SVAB=，VVABC=VCVAB=21如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2将AED和BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点（1）求
25、证：GH平面DEM；（2）求证：EMCN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GHEN，于是GH平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EMCN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos|，从而得出所求线面角的大小【解答】证明：（1）连结NG，EN，N，G分别是MD，MC的中点，NGCD，NG=CDH是EF的中点，EFCD，EF=CD，EHCD，EH=CD，N
26、GEH，NG=EH，四边形ENGH是平行四边形，GHEN，又GH平面DEM，EN平面DEM，GH平面DEM（2）ME=EF=MF，MEF是等边三角形，MHEF，取CD的中点P，连结PH，则PHDE，DEME，DEEF，MEEF=E，DE平面MEF，PH平面MEF以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，1）=（，1，0），=（，1）=+1+01=0EMNC（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，1），=（，1），=（0，0，2），=（，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即令y=1得=（
27、，1，0），cos=直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，直线GH与平面NFC所成角为22已知：数列an的前n项和为Sn，且2an2n=Sn，（1）求证：数列ann2n1是等比数列；（2）求：数列an的通项公式；（3）若数列bn中bn=，求：bn的最小值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由2an2n=Sn，得出，两式相减得出递推公式，计算an+1（n+1）2n整理即可得出an+1（n+1）2n=；（2）由（1）的结果得出ann2n1的通项公式，从而得出an；（3）求出bn，计算bn+1bn，得出bn的单调性，从而确定bn的最小项【解答】解：（1）证明：，两式相减得，=，数列是首项为1，公比为2的等比数列（2）由（1）知，即（3），bn+1bn=2（）=令n2+3n180解得n3，令n2+3n180解得n2n=1，2，3时，数列递减；n=4，5，6，时，数列递增；，当n=3或n=4时，（bn）min=142016年8月17日