1、安徽省名校联盟20202021学年第二学期期末考试卷高二理科数学满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用O5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设
2、全集，集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，复数z满足（23i）z32i，则z为（ ）A.i B. i C.1i D.1i3.若，则（ ）A. B.C. D.4.某人在网上购买了100只青岛产的虾，开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：中小虾大虾白色4015灰色2025则可以认为大虾与其颜色有关的概率参考公式：，其中nabcd0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A至多为99.9% B.至少为99.5% C.至多为0.5% D.至少为0.1%5.执行如图
3、所示的程序框图，输出的结果为（ ）A.4 B.8 C.16 D.646.直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.47.在平行四边形ABCD中，设，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则（ ）A. B. C. D.8.如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧ODC相切于D，已知矩形的长和宽分别为和1，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D.9.小张在创业之初，于2020年1月5号交了30%的首付（30万元），贷款买了一台价格为100万元的大型设备，约定：还款期为
4、10年，月息为千分之六，从2020年的2月5号开始以等额本金的形式还贷，即每月还本金万元及本次还款前一个月未还的本金产生的利息假设受市场影响，小张在2021年的5月5号开始不能如期还款，故小张当天在网上变卖这台设备，结果只卖出50万元，用来一次性还银行贷款以后，则当天小张还差银行（ ）A.10.3675万元 B.11.2500万元 C.11.6175万元 D.18.7755万元10.动点P，Q分别在函数的图象上运动，则的最小值为（ ） 11.定义为不超过x的最大整数，例如2，若区间（为正整数）在数轴上任意滑动，则区间覆盖数轴上整数的个数为（ ） 12.的大小关系为（ ） 二、填空题：共5小题，
5、每小题4分，共20分13.的值为 14.已知实数x，y满足不等式组，若，则z的最大值为 15.若，则的值为 16.在四棱锥PABCD中，若PAABAD，BCD2PAB2PAD2BAD，则四棱锥PABCD外接球表面积为 三、解答题：共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤17.（10分）在等差数列中，已知分别为复数的实部与虚部（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和18.（12分）在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，（1）若c2，B，AD平分角A交BC于D，求AD的长；（2）若b，c为函数的两个不同的零点，求BC边上的高19.（12分）小张大学毕业后决
6、定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：项目A利润占投入的百分比10%5%5%频率50%40%10%项目B利润占投入的百分比10%5%5%频率40%xy项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替，但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响（1）求x，y的值；（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了200万人民币的风险投资现在小张与投资方共同決定对A，B这两个项目分别投资100万元，请预测小张总利润率的概率分布和总利润的数学期望20.（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA底面ABCD，A
7、DBC，BC2AD2AB2DC2PA2，对角线AC与BD交于O点，连接PO（1）求证：ACPB（2）过B点作一直线l平行于PC，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为，求的取值范围21.（12分）已知函数g（x）的图象与函数的图象关于直线yx对称，设为函数f（x）的导函数（1）当a1时，求的零点；（2）当0a1时，设的最小值为，求证：22.（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线1的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且，试判断PMN的面积是否为定值，
8、并说明理由安徽省名校联盟20202021学年第二学期期末考试高二理科数学参考答案1.【答案】D【解析】由题意可知，所以选D2.【答案】A【解析】因为，所以3.【答案】A【解析】由正态分布曲线得，所以A正确，B错，所以C，D错，所以选A4.【答案】B【解析】补成如下的22列联表：中小虾大虾合计白色401555灰色202545合计6040100所以，所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%5.【答案】B【解析】最后输出的结果为6.【答案】B【解析】因为点（2，1）在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切7.【答案】A【解析】如图
9、，在AD上取G点，使得AGGEED，在BC上由左到右取K，H，使得BKKHHC，连接AK，GH，则AKGHEC，因为DEBC且，所以（相似比），所以，所以8.【答案】D【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为和1，所以OC，拱高为1，所以OEC，EO2，所以图中阴影部分的面积又矩形OABC的面积为，所以质点落在图中阴影部分的概率为9.【答案】C【解析】小张在2021年的5月5号这一天差银行贷款本金共计万元，当天设备卖了50万还了银行以后还差银行本金为11.25万，再加上2021年4月5号到5月5号产生的利息为万元，所以小张还差银行11.250.367511.6175万元10.【答
10、案】B【解析】，设动点，当在P点处切线与g（x）2x2平行，过点P作直线垂线，垂足为点Q时，取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线2xy20的距离是的最小值令，解得，故P（0，1），所以11.【答案】C【解析】因为nm为整数，所以当n为整数时，m也为整数，所以此时m，n覆盖数轴上个整数，当n不是整数时，m也不是整数，所以此时m，n数轴上覆盖nm个整数，可以验证：区间m，n覆盖数轴上整数的个数为，所以选C12.【答案】C【解析】，所以只需比较的大小设，因为x2所以，记，所以所以所以在（2，）上单调递减，所以选C13.【答案】0【解析】sin117sin243cos27（cos27）0
11、14.【答案】【解析】作出不等式组所对应的可行域如图，其中C（2，3），当且仅当动直线过点C（2，3）时，则z的最大值为15.【答案】【解析】，所以在中，令得，即的值为16.【答案】【解析】因为BAD，BCD，所以AC，即四边形ABCD四点共圆，四棱锥PABCD的外接球与三棱锥PABD的外接球为同一个，又PAABAD，PABPADBAD所以三棱锥PABD为正四面体，如图，构造棱长1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外接球半径，所以外接球表面积17.【解析】（1）设公差为d，因为分别为复数的实部与虚部，所以（2分）所以2d82，所以d3，（3分）所以即通项公式为；（5分）（2）
12、（7分）所以（10分）18.【解析】（1）因为，（2分）在三角形ABD中，由正弦定理得， ，（4分）因为c2，B，所以；（6分）（2）因为b，c为函数的两个不同的零点，所以，（8分）在三角形ABC中，由余弦定理得，（10分）设BC边上的高为h，因为，所以，所以（12分）19.【解析】（1）投资项目A的平均利润率为10%x50%5%40%5%10%0.065，（2分）投资项目B的平均利润率为，（4分）因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同所以10%40%5%（2x60%）0.065，解得x0.55，y0.05，（6分）（2）预测小张的总利润率为X，则X的值为10%，7.5%，5%，2.5%，0
13、，5%，进一步可以预测小张总利润率的概率分布为X10%7.5%5%2.5%0%5%P20%43.5%22%6.5%7.5%0.5%（10分）小张总利润为（12分）20.【解析】（1）延长BA、CD交于一点R，因为ADBC，BC2AD2AB2DC2a，所以RBC为正三角形，且AD为三角形RBC的中位线，即A为BR边的中点，所以CABA，（1分）因为PA底面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC，（2分）因为 ABPAA，所以AC平面PAB，PB平面PAB，所以ACPB；（4分）（2）由（1）得，AP，AB，AC两两垂直，故以A为原点，射线AB，AC，AP的方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
14、，（5分）显然平面PAC的法向量为，（6分）P（0，0，1），C（0，0），B（1，0，0），所以（0，1），（1，0，1），（7分）因为lPC，所以可设其中，（9分）（10分）因为，所以，所以，当且仅当时，（12分）21.【解析】由已知得，所以，定义域为，为上的增函数（2分）（1）当a1时，因为为上的增函数所以在上有唯一的零点1；（4分）（2）当0a1时，（6分）因为为上的增函数所以在上有唯一的零点，且为函数f（x）的极小值点，（8分）因为，所以（10分）因为，且为上的减函数，所以0，即（12分）22.【解析】（1）因为椭圆C：（ab0）的离心率为，所以，其中，（1分）双曲线的两条渐近线的方
15、程为，设FGt，则OF2t，因为三角形OEG的面积为1，所以，所以，所以椭圆C的方程为；（4分）（2）当直线MN的斜率不存在时，因为，所以Q（1，0），此时MN的方程为x1，或Q（1，0），此时MN的方程为x1将x1，代入椭圆方程得所以PMN的面积为，由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x1时，PMN的面积也为；（6分）当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为ykxm，设，因为MN的中点为Q，且，所以PMN的重心是坐标原点O，所以，联立ykxm和，得，当时，所以，故，因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足，因而m与k满足的等式关系为，（9分）当时，（10分因为PMN的重心是坐标原点O，所以PMN的面积为OMN的面积的3倍，设直线l与y轴交与点D，则D（0，m）那么PMN的面积为，关系式代入得，综合得，PMN的面积为定值（12分）
