1、压轴大题抢分练(二)(建议用时：60分钟)1已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程；(2)过点K(1,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A，B两点在x轴上方)，点A关于x轴的对称点为D，且FAFB，求ABD的外接圆的方程解(1)抛物线的准线方程为x，所以点E(2，t)到焦点F的距离为23，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)法一：设直线l的方程为xmy1(m0)将xmy1代入y24x并整理得y24my40.由(4m)2160，解得m1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，y1)，y1y
2、24m，y1y24，所以(x11)(x21)y1y2(1m2)y1y22m(y1y2)484m2，因为FAFB，所以0，即84m20，结合m0，解得m.所以直线l的方程为xy10.设AB的中点坐标为(x0，y0)，则y02m2，x0my013，所以线段AB的垂直平分线方程为y2(x3)因为线段AD的垂直平分线方程为y0，所以ABD的外接圆圆心坐标为(5,0)因为圆心(5,0)到直线l的距离d2，且|AB|4，所以圆的半径r2.所以ABD的外接圆的方程为(x5)2y224.法二：依题意可设直线l：yk(x1)(k0)将直线l与抛物线C的方程联立并整理得k2x2(2k24)xk20.由(2k24)
3、24k40，结合k0，得0k1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，x1x21.所以y1y2k2(x1x2x1x21)4.所以x1x2(x1x2)1y1y28，因为FAFB，所以0，所以80，又k0，解得k.以下同法一2已知动点M(x，y)满足：2.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设A，B是轨迹E上的两个动点，线段AB的中点N在直线l：x上，线段AB的中垂线与E交于P，Q两点，是否存在点N，使以PQ为直径的圆经过点(1,0)，若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由解(1)由2知，动点M到定点(1,0)和(1,0)的距离之和等于2，根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以定点(
4、1,0)和(1,0)为焦点的椭圆，且a，c1，故b1，因此椭圆方程为y21.(2)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x，此时P(，0)，Q(，0)，1，不合题意；当直线AB不垂直于x轴时，设存在点N(m0)点，直线AB的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：(x1x2)2(y1y2)0，则14mk0，故k，此时，直线PQ斜率为k14m，PQ的直线方程为ym4m，即y4mxm，联立消去y，整理得：(32m21)x216m2x2m220，所以x1x2，x1x2，由题意0，于是(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1(4mx1m)(4mx2m)(116m2)x1x2(4m
5、21)(x1x2)1m21m20，m，因为N在椭圆内，m2，m符合条件，综上所述，存在两点N符合条件，坐标为N，.3设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.解(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即1x.(3)由题设c1，设g(x)1(c1)xcx
6、，则g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.4已知函数f(x)x(ln xax)(aR)(1)若a1，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：f(x2).解(1)由已知条件，f(x)x(ln xx)，当x1时，f(x)1，f(x)ln x12x，当x1时，f(x)1，所以所求切线方程为xy0.(2)由已知条件可得f(x)ln x12ax有两个相异实根x1，x2，令f(x)h(x)，则h(x)2a(x0)，若a0，则h(x)0，h(x)单调递增，f(x)不可能有两根；若a0，令h(x)0得x，可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，令f0解得0a，由有f0，由有f2ln a10，从而0a时函数f(x)有两个极值点，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)因为f(1)12a0，所以x11x2，f(x)在区间1，x2上单调递增，f(x2)f(1)a.
