1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A. B. C. D.2解析由圆的方程x2y22x8y130得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d1，解之得a.答案A2.(2017金华调研)过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2xy50 B.2xy70C.x2y50 D.x2y70解析过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，圆心与切点连线的斜率k，切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即2xy7
2、0.故选B.答案B3.已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.2 B.4 C.6 D.8解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1，1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，故r2d24，即2a24，所以a4，故选B.答案B4.圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析圆的方程化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线距离d，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点.答案C5.(2017温州调研)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，
3、则AB所在直线的方程为()A.y B.y C.y D.y解析圆(x1)2y21的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y. 故选B.答案B二、填空题6.(2016全国卷) 已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，解得y1，y22，A(3，)，B(0，2).过A，B作l的垂线方程分别为y(x3)，y2x，令y0，得xC2，xD2，|CD|2(2)4.答案47.(2017宁波调
4、研)点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，则|PQ|的最小值是_；|PQ|的最大值是_.解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(2，1)，半径是2.圆心距d3.所以，|PQ|的最小值是35，|PQ|的最大值为35.答案35358.(2017贵阳一模)由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_. 解析设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|.要使|PQ|最小，即求|
5、PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离.设圆心到直线yx1的距离为d，则d2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|.答案三、解答题9.(2015全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r1，由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22
6、 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|2R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2017衡水中学月
7、考)两圆x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则的最小值为()A.1 B.3 C. D.解析x2y22axa240，即(xa)2y24，x2y24by14b20，即x2(y2b)21.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则123，即a24b29，所以1，当且仅当，即ab时取等号.答案A12.(2015山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或C.或 D.或解析由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反
8、射光线一定过点(2，3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选D.答案D13.已知曲线C：x，直线l：x6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，则m的取值范围为_.解析曲线C：x，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x6，m.答案14.已知圆O：x2y24和点M(1，a).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程.(2)若a，过点M作圆O的两条弦AC，BD互
9、相垂直，求|AC|BD|的最大值.解(1)由条件知点M在圆O上，所以1a24，则a.当a时，点M为(1，)，kOM，k切，此时切线方程为y(x1).即xy40，当a时，点M为(1，)，kOM，k切.此时切线方程为y(x1).即xy40.所以所求的切线方程为xy40或xy40.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d20)，则ddOM23.又有|AC|2，|BD|2，所以|AC|BD|22.则(|AC|BD|)24(4d4d2)44(52).因为2d1d2dd3，所以dd，当且仅当d1d2时取等号，所以，所以(|AC|BD|)2440.所以|AC|BD|2，即|AC|BD|的最
10、大值为2.15.(2017宁波十校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设圆心C(a，0)，则2a0或a5(舍).所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4，0)时，能使得ANMBNM总成立.