1、第2讲函数与方程、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质
2、；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】 (1)设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea1的大小关系为()A.ea1aae B.aeaea1C.aeea1a D.aea10，则f(x)ex10，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae，从而ea1aae.(2)令h(x)g(x)，得xln x1kx，即ln xk.令函数f(x)ln x，若方程xln xkx10在区间上有两个不等实根，则函数f(x)ln x与yk在区间上有两个不相同的交点，f(x)，令0可得x1
3、，当x时f(x)0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1)1，而f 1e，f(e)1，又1e1，所以，函数的最大值为e1.所以关于x的方程xln xkx10在区间上有两个不等实根，则实数k的取值范围是.答案(1)B(2)B探究提高1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】 (1)设函数f(x)cos x，则方程f(x)所有实根
4、的和为()A.0 B.C. D.(2)(2018石家庄质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)log2(1x)，若f(a21)1，则实数a的取值范围是()A.(，0)(0，) B.(，)C.(1，0)(0，1) D.(1，1)解析(1)由f(x)cos x，得cos x，令y，ycos x.在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点.方程f(x)的实根之和为.(2)依题意，f(x)在(，0)上单调递减，且f(x)在R上是偶函数.f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)f(1)1.由f(a21)1，得|a21|1，解得a0或0a0恒成立，f(x)在1，)上是增函
5、数，当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max.要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，实数k的最小值为.探究提高1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用单调性求bn的最大值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助an1an的正负判断其单调性.【训练2】 (2018东北三省四校二模)已知等差数列an的公差d1，等比数列bn的公比q2，若
6、1是a1，b1的等比中项，设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，且ab5.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn2anlog2bn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)依题设，a1b11，且ab5.即解之得数列an的公差为d1，bn的公比q2，所以ann，bn2n1(nN*).(2)cn2anlog2bn2nlog22n1(n1)2n(nN)，Tnc1c2cn22223324(n1)2n，2Tn23224325(n1)2n1，两式相减得，Tn2223242n(n1)2n1，(n1)2n14(2n)2n1，Tn(n2)2n14(nN*).应用3函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】
7、设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值.解(1)依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1.由6知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2；由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.(2)根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分
8、别为h1，h2.又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)222，当且仅当4k21(k0)，即当k时，上式取等号.所以S的最大值为2.即四边形AEBF面积的最大值为2.探究提高几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】 (1)(2018长沙一中质检)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面
9、内，则原工件材料的利用率为()A. B.C. D.(2)若点O和点F(2，0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_.解析(1)如图所示，原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则0a，0h0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.解析(1)在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图：由图可知，在实数集R上，minx21，x3，13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线
10、段BC，与直线y13x点C下方的部分的组合图.显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3，13x取得最大值.解方程组得点C(5，8).所以f(x)max8.(2)作出f(x)的图象如图所示.当xm时，x22mx4m(xm)24mm2.要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)C(2)(3，)探究提高1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.
11、(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】 若函数f(x)满足f(x1)，当x1，0时，f(x)x，若在区间1，1)上，g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围为_.解析x1，0时，f(x)x.当x(0，1)时，1x10，f(x1)x1，从而x1.因此，x(0，1)时，f(x)1，作出函数f(x)在1，1)上的图象，如图所示.因为g(x)f(x)mxm有两个零点.yf(x)的图象与直线ym(x1)在区间1，1)上有两个交点，又kAB，由几何直观知0时，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).y2xz过
12、点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z2xy取得最大值.易求点B，最大值为z22，解得m1.答案(1)A(2)C探究提高1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)当x(1，2)时，(x1)21.在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图象.若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylo
13、gax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2.(2)因为(ac)(bc)0，所以(ac)(bc).如图所示，设c，a，b，ac，bc，即.又因为，所以O，A，C，B四点共圆.当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.答案(1)(1，2(2)C应用3圆锥曲线中的数形结合思想【例6】 已知抛物线的方程为x28y，点F是其焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_.解析因为(2)284，所以点A(2，4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接
14、AQ.则APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2，4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周长最小的点P的坐标为.答案探究提高1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.【训练6】 (2018江南名校联考)设A，B在圆x2y21上运动，且|AB|，点P在直线l：3x4y120上运动，则|的最小值为()A.3 B.4 C. D.解析设AB的中点为D，则2，当且仅当O，D，P三点共线时，|取得最小值，此时OPAB，且OPl.圆心到直线l的距离为，|OD|，|的最小值为2.答案D