1、习题课导数运算及几何意义的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知奇函数f(x)满足f(-1)=1,则=()A.1B.-1C.2D.-2解析由f(x)为奇函数,得f(1)=-f(-1),所以=f(-1)=1,故选A.答案A2.若曲线f(x)=x3+x2+mx的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于()A.2B.0C.0或2D.3解析依题意,只有一条切线的斜率等于1,又f(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一个实数根,于是=4-4(m-1)=0,解得m=2.答案A3.已知f(x)=+4x,则f(1)=()A.1B.4C.2D.-1解析因为f(x)=+4x,所以
2、f(x)=-+4.因此f(1)=-+4,解得f(1)=2.答案C4.经过点(3,0)的直线l与抛物线y=的两个交点处的切线相互垂直,则直线l的斜率k等于()A.-B.-C.D.-解析设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x-3),设直线l与抛物线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2kx+6k=0,所以x1x2=6k.又对y=求导有y=x,所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为x1,x2,于是有x1x2=6k=-1,所以k=-.答案A5.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-
3、1=0解析对函数求导得y=2x,设切点坐标为(x,y),因为切线与直线2x-y+4=0平行得斜率k=2x=2,即x=1,则切点坐标为(1,1),所以得切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,故选D.答案D6.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f(x)=(f(x),若f(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在上不是凸函数的是()A.f(x)=sin x+cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x解析若f(x)=sin x+cos
4、 x,则f(x)=-sin x-cos x,在上,恒有f(x)0;若f(x)=ln x-2x,则f(x)=-,在上,恒有f(x)0;若f(x)=-x3+2x-1,则f(x)=-6x,在上,恒有f(x)0,故选D.答案D7.已知函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0,则f(2)+f(2)=.解析切线2x+y-3=0的斜率为-2,所以f(2)=-2.又切点在切线上,所以22+y-3=0.因此y=f(2)=-1,故f(2)+f(2)=-1+(-2)=-3.答案-38.已知a=,b=,c=,d=,e=,则a,b,c,d,e中有相等关系的是.解析容易推得c=d,又在e=中,若令x-x0
5、=x,则该式可化为e=,所以a=e,因此具有相等关系的是c=d,a=e.答案c=d,a=e9.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.解析由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.答案y=3x10.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.解因为y=x2+1,所以y=2x.设切点为(t,t2+1),所以切线斜率为y|x=t=2t,于是切线方程为y-(t2+1)=2t(x
6、-t),将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因为切线有两条,所以=(-2)2-4(a-1)0,解得a0)的导函数,且满足xf(x)+2f(x)=,f(1)=1,则f(x)的解析式为()A.f(x)=(x0)B.f(x)=ln x+1(x0)C.f(x)=+1(x0)D.f(x)=+1(x0)解析xf(x)+2f(x)=,x2f(x)+2xf(x)=.x2f(x)=x2f(x)+2xf(x),可设x2f(x)=(ln x+c),即f(x)=.又f(1)=1,c=1.f(x)=(x0).答案A3.曲线f(x)=sin 2x在点(0,0)处的切线方程为
7、.解析f(x)=sin 2x,f(x)=2cos 2x,当x=0时,f(0)=2,得切线的斜率为k=2,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案2x-y=04.设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.解析y|x=1=n+1(nN*),曲线在点(1,1)处的切线为y-1=(n+1)(x-1)(nN*),令y=0,得x=xn=(nN*),an=lg(nN*),a1+a2+a99=lg+lg+lg=lg=lg=-2.答案-25.已知f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(abc)
8、,试证明方程f(x)=0必有两个实数根.证明法一:因为f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)(x-b)(x-c),所以f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b).令g(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c),因为abc,所以有g(a)=(a-b)(a-c)0,g(b)=(b-a)(b-c)0,根据函数零点的性质知,函数g(x)在区间(b,a)和(c,b)内各有一个零点,故原方程有两个实根,且一个大于b,另一个小于b.法二:f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=
9、x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc,f(x)=3x2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac).=-2(a+b+c)2-43(ab+bc+ac)=4(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=2(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ac)=2(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,abc,0恒成立.方程f(x)=0必有两个实数根.6.设函数f(x)=ax-,曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)在任一点处的切线与直线x=0和
10、直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.(1)解方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)证明设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y=1+,知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)在任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.