1、判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重题1 (文献1第21页第7题)已知，则方程的实根个数是( )A.2 B.3 C.4 D.与的值有关文献1第49页给出的答案是：A.分别画出当时，函数与的图象如图1所示，由数形结合可知，它们的交点个数为2，所以方程的实根个数也是2.图1题2 (文献2例2)已知，则方程的实根个数为( )A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个(答案：B.解法同上.)这两道题实质相同，解法及答案也都是相同的用数形结合思想求解.该题及其解法可能还被很多文献引用过，甚至也会被不少老师在教学中选用，还会被引用者认为是挑战思维、解法巧妙的一道不可多得的好题！殊不知，
2、以上解法是有漏洞的，答案也是错误的.我们知道，增函数与减函数的图象若有公共点，则公共点唯一.证明如下：设增函数是，减函数是，则函数是增函数，所以其零点至多一个，即方程的根至多一个，也即方程组至多有一组解，所以欲证成立.但增函数与增函数的图象若有公共点，则公共点不一定唯一.图2就是一个典型的例证：图2同理，减函数与减函数的图象若有公共点，则公共点也不一定唯一.由图1可知：当时，减函数与增函数的图象有唯一公共点；当时，减函数与减函数的图象有公共点，但公共点不一定唯一.所以，认为函数与的图象公共点个数为2，理由不充足.由几何画板可以研究这个问题：当时，又且时，减函数与减函数的图象有三个公共点(图3是
3、的情形)：图3(请重新绘制实线函数图象，上方不是水平的)解决题1、题2是有难度的，先要给出下面的定理1(其证明见文献3)：定理1 指数函数与其反函数图象公共点个数的情形是：(1)当时是3个公共点；(2)当时是1个公共点；(3)当时是2个公共点；(4)当时是1个公共点；(5)当时没有公共点.由定理1，容易得到：定理2 方程的实根个数的情形是：(1)当时是4个解；(2)当时是2个解；(3)当时是3个解；(4)当时是2个解；(5)当时是1个解.题3 (2013年高考天津卷理科第7题)函数的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4笔者认为解答这道高考题也是不容易的(而笔者见到的解答都是由图1来求
4、解的，而这是不对的).文献4,5也提出了“判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重”的问题：题4 (苏州市20092010学年度高一(必修1+必修4)上学期期末统考测试题第11题)若方程且恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案是D，文献4,5均论述了这是不对的.有以下结论成立：结论1 增函数与减函数的图象公共点个数只能是0或1(因为两者公共点的个数即方程解的个数，而是增函数).结论2 增函数与增函数的图象公共点个数可以是任意自然数，并且也可以是无数个(比如两个增函数与的图象公共点个数即方程解的个数，是无数个).结论3 减函数与减函数的图象公共点个
5、数可以是任意自然数，并且也可以是无数个(由结论2可得). 所以判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重.题5 (2015年高考广东卷文科第21题)设a为实数，函数f(x)(xa)2|xa|a(a1)(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当a2时，讨论f(x)在区间(0，)内的零点个数参考答案 (1)f(0)1即，由分类讨论可得答案为.(2)用导数可求得答案为：函数f(x)在上分别是减函数、增函数.(3)当时，可求得f(x)在区间(0，)内的零点个数是1(且零点是2)当时.由(2)得，函数f(x)在上分别是减函数、增函数，所以.当时，.而是增函数，当时，.
6、又，所以.再结合图4可得：当时，曲线与有两个公共点，即此时所求零点的个数为2.图4(请添上坐标原点O，铅垂线是x=a，去掉铅垂线的上端点，x轴的负半轴也要画出来) 综上所述可得：当时，所求零点的个数为1；当时，所求零点的个数为2.笔者对题5第(3)问的参考答案的质疑及纠正 当时.1)又当时，函数及均是减函数，所以函数也是减函数.又，所以当时，函数f(x)在区间(0，)内的零点个数是1.2)又当时，函数及均是增函数，所以由结论2知，此时函数f(x)在区间(0，)内的零点个数尚不能确定.而参考答案说，由图4知此时的零点个数是1，其理由是不充足的.其严谨的解答如下：当时，可得函数f(x)在区间(0，)内的零点个数即关于x的方程解的个数.由导数易证是增函数，所以也是增函数.还可证得(因为)，所以此时函数f(x)在区间(0，)内的零点个数是1. 参考文献1 王朝银.步步高寒假作业数学高一Z.哈尔滨：黑龙江教育出版社，20112 张芳.数形结合思想在解题中的应用J.中学数学(高中)，2007(12)：413 甘志国.初等数学研究(I)M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.248-2564 甘志国.这道经典题目的结论和解答都是错误的J.数学教学2010(7)：23-24，封底5 甘志国.甘志国谈高中数学解题技巧M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2013
