1、新疆乌鲁木齐市第四中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分.）1. 下列语句为命题的是（ ）A. 0不是偶数B. 求证对顶角相等C. D. 今天心情真好啊【答案】A【解析】【分析】根据命题的概念，即可判定.【详解】根据命题的定义：能判定真假的语句，可得：对于A中，不是偶数，能判定是错误的，所以是命题；对于B、C、D给出语句，不能判定其真假，所以不是命题.故选：A.2. 命题“，”的否定形式是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【详解】解：命题“，”为特称命题，其否定为全称命题，则否定
2、是：，故选：【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析】利用集合法判断.【详解】因为所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4. 在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数不可能是（ ）A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据四种命题间的关系，可得出答案.【详解】在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命
3、题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，这四个命题中真命个数可以为0、2或4.故选：C.【点睛】本题考查四种命题间的关系，考查学生的推理能力，属于基础题.5. 有下列四个命题：“若，则互为相反数”的逆命题“全等三角形的面积相等”的否命题“若，则有实根”的逆否命题“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的相互转化，对每个选项进行逐一分析，即可判断命题的真假.【详解】“若，则互为相反数”的逆命题为若互为相反数，则，命题为真命题；原命题的否命题为：两三角形不全等则面积不等，是假命题；若有实根，
4、则，解得，故原命题为真，则逆否命题也是真命题；不等边三角形的三个内角相等的逆命题是：三个内角相等的三角形是不等边三角形，是假命题.综上所述，真命题为：故选：.【点睛】本题考查四种命题之间的相互转化，以及命题真假的判断，属综合简单题.6. 已知命题若，则；命题若，则.在命题；中，真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，判断命题，的真假，再依据复合命题的真值表，来判断相关复合命题的真假【详解】当，故，即命题为真命题，则为假命题，当 ，满足，但，故命题为假命题，则为真命题，根据复合命题的真值表可得：为假命题，为真命题，为真命题，为假命题，所以真命题为故选C【
5、点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及判断复合命题的真假，熟练掌握复合命题的真假是解题的关键，属于基础题7. 将编号为001，002，003，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ）A. 283B. 286C. 287D. 288【答案】D【解析】【分析】先求样本间隔，然后计算抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可.【详解】样本间隔为，即抽取样本数为，则最大的样本编号为，故选：D.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔和
6、样本容量是解决本题的关键，属于基础题.8. 若表示不超过的最大整数，如，则函数称为取整函数，又称高斯函数.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据流程图写出每次循环的运行结果即可求解.【详解】第一次执行循环：，满足条件；第二次执行循环：，满足条件；第三次执行循环：，满足条件；第四次执行循环：，满足条件；第五次执行循环：，不再满足条件，结束循环，输出的的值为，故选：D.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，考查了基本运算能力，属于基础题.9. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为A. B. 220C. D. 34【答案】C【解析】试题
7、分析：原多项式变形为，即，考点：秦九韶算法求多项式的值点评：利用秦九韶算法求多项式的值首先要将多项式改写为每个括号内为关于x的一次式的形式，由内层括号到外层括号依次为10. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ）.A. 是对立事件B. 都是不可能事件C. 是互斥事件但不是对立事件D. 不是互斥事件【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断即可.【详解】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选：D【点睛】本题考查
8、了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.11. 直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可【详解】圆的方程为圆（x2）2+（y2）25，圆心C（2，2），半径为直线y3k（x1），此直线恒过定点（1，3），当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（1，3）的连线垂直于弦，弦心距为：所截得的最短弦长：2故选C点睛】本题主要考查了直线与圆相交的性质解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，
9、应注意直线恒过定点，是基础题12. 甲、乙两人约定某天晚上6：007：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是，写出满足条件的事件是，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为，乙到的时间为，则试验包含的所有事件是，事件对应的集合表示的面积是，满足条件的事件是，则，则事件对应的集合表示的面积是，根据几何概型概率公式得到；所以甲、乙两人能见面的概率故选：D【点睛】本题主要
10、考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果二、填空题（每小题5分，共20分.）13. 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为_.【答案】24【解析】【分析】分层抽样即等比例抽样，根据抽查高收入6户占所以高收入的比例即可推出抽样的总数。【详解】总共480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户所以高收入：户设本次被抽取的总户数为，则，解得故答案为：24【点睛】此题
11、考查分层抽样，关键点理解清楚分层抽样等比例的概念，属于简单题目.14. 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是_.【答案】.【解析】【分析】基本事件总数，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数，由此能求出抽到的2道题他都会的概率.【详解】解：某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.基本事件总数，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数，抽到的2道题他都会的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求
12、解能力，是基础题.15. 已知圆与直线相切，则_【答案】【解析】【分析】先求出圆心坐标为，半径为1，由题得，解方程即得解.【详解】由题得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为1，所以，解之得.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 圆关于直线对称的圆的方程是_.【答案】【解析】【分析】求出关于直线对称的点的坐标后可得所求的圆的方程.【详解】圆的圆心坐标为，半径为.设关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故所求圆的方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，一般地，可设出所求对称点的坐标，利用垂直和中点来构建方程组可解得所求
13、点的坐标.三、解答题17. 新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表分组频数频率50.1080.16x0.1412y100.20z合计501（1）求该校学生总数；（2）求频率分布表中实数x，y，z的值；（3）已知日睡眠时间在区间6，6.5)的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，则选中的2人
14、恰好为一男一女的概率【答案】（1）1800人；（2）7,0.24,8；（3）.【解析】【分析】（1）根据高一年级学生抽样比列出方程求解；（2）根据频率、频数与总数的关系计算；（3）列举出5名高二学生中任选2人的所有可能结果，再确定2人中恰好为一男一女的可能，利用古典概型概率公式进行求解.【详解】（1）设该校学生总数为n，由题意，解得n1800，所以该校学生总数为1800人（2）由题意，解得x7，.（3）记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A，记5名高二学生中女生为F1，F2，男生为M1，M2，M3，从中任选2人有以下情况：(F1，F2)，(F1，M1)，(F1，M2)，(F1，M3)，(F2，
15、M1)，(F2，M2)，(F2，M3)，(M1，M2)，(M1，M3)，(M2，M3)，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A包含的基本事件有6个，故P(A)，所以选中的2人恰好为一男一女的概率为【点睛】本题考查分层抽样、频率分布表、古典概型的概率计算，属于基础题.18. 某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温与该小卖部的这种饮料销量（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温91012118销量（杯）2325302621（1）若先从这五组数据中
16、抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；（3）根据（1）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温，请预测该奶茶店这种饮料的销量.（参考公式：，）【答案】（1）（2）（3）该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯【解析】【分析】（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况都是可能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有4种.根据等可能事件的概率做出结果.（2）根据所给的数据,先求出,的平均数,即求出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程.（3）利用线性回归方程,取7
17、,即可预测该奶茶店这种饮料的销量.【详解】解:（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A,所有基本事件（其中为1月份的日期数）有：,共有10种.事件A包括的基本事件有,共4种.所以所求.（2）由数据,求得,.由公式,求得,所以y关于x的线性回归方程为.（3）当时,所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯.【点睛】本题主要考查概率以及线性回归方程相关知识,是基础题.19. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的
18、热点，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示（1）求出的值；（2）求这200人年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.【答案】（1）；（2）中位数为；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率之和等于1求出；（2）根据频率直方图中的中位数等分样本数据所占频率求解即可；（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2
19、组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为设从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率【详解】解：（1）由，得；（2）由于前两组的频率和为，第三组的频率为，故中位数为 （3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为.设从5人中随机抽取3人，为，共10个基本事件其中第2组恰好抽到2人包含， 共6个基本事件,从而第2组抽到2人的概率【点睛】方法点睛：频率分布直方图中的中位数，平均数，众数的求解方法：众数：是频率分布直方图中最高矩形的中点值即为样本数组的众数估计值；平均数：各组中点值乘以各组的频率
20、之和即为样本数组的平均数的估计值；中位数：频率分布直方图中，垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分，则其对于的数据即为中位数的估计值.20. 已知直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上（1）求点C的坐标；（2）求的斜边中线的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程【详解】（1）直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上，设，则，求得，故（2）斜边AC的中点为，BM的斜率为，故BM的方程为，即【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线
21、斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题21. 已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：ykx4.（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点.【解析】【分析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离
22、公式得直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线系方程，即可得到所求定点【详解】（1）设点的坐标为，由可得，整理可得，所以曲线的轨迹方程为. （2）依题意，且，则点到边的距离为，即点到直线的距离，解得，所以直线的斜率为.（3）依题意，则都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设则圆的圆心为，且经过坐标原点，即圆的方程为，又因为在曲线上，由，可得即直线的方程为由且可得，解得，所以直线是过定点.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题