1、第1讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6
2、)可开方：ab0(nN，n2).3.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac
3、0.()解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，abac2bc2.(3)若方程ax2bxc0(a0的解集为.(4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)(2)(3)(4)2.若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析因为cd0，所以0，两边同乘1，得0，又ab0，故由不等式的性质可知0.两边同乘1，得.故选B.答案B3.设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN等于()A.(0，4 B.0，4) C.1，0) D.(1，0解析Mx|x23x40x|1xa B.acbC.cba D.acb(2)若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；
4、ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A. B.C. D.解析(1)cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a10，ba，cba.(2)法一因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.法二由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而y
5、ln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.答案(1)A(2)C规律方法(1)比较大小常用的方法：作差法；作商法；函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2017松滋市校级期中)已知pa，q，其中a2，xR，则p，q的大小关系是()A.pq B.pq C.pq D.pq(2)设ab1，c0，给出下列三个结论：；acbc；logb(ac)loga(bc).其中所有的正确结论的序号是()A. B. C. D.解析(1)由a2，故pa(a2)2224，当且仅当a3时取
6、等号.因为x222，所以q4，当且仅当x0时取等号，所以pq.(2)由不等式性质及ab1知，又c0，所以，正确；构造函数yxc，c0，yxc在(0，)上是减函数，又ab1，acbc，知正确；ab1，c0，acbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确.答案(1)A(2)D考点二一元二次不等式的解法(多维探究)命题角度一不含参的不等式【例21】 求不等式2x2x30的解集.解化2x2x30，解方程2x2x30得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)，即原不等式的解集为(，1).命题角度二含参不等式【例22】 解关于x的不等式ax222xax(xR).解原不等式可化
7、为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，
8、则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】 (1)已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于()A.3 B.1 C.1 D.3(2)不等式2x2x4的解集为_.解析(1)由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，所以ABx|1x2，由题意知，1，2为方程x2axb0的两根，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3.(2)因为422且y2x在R上单调递增，所以2x2x4可化为x2x2，解得1x2，所以2x2x4的解集是x|1x2.答
9、案(1)A(2)x|1x2考点三一元二次不等式的恒成立问题(多维探究)命题角度一在R上恒成立【例31】 若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A.(3，0 B.3，0) C.3，0 D.(3，0)解析2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解之得3k0.答案D命题角度二在给定区间上恒成立【例32】 设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_. 解析要使f(x)m5在1，3上恒成立，则mx2mxm60，即mm60在x1，3上恒成立.有以下两种方法：法一令g(x)mm6，x1，3.当m0时，g(x)在1，3上是增函数，
10、所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是.法二因为x2x10，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可.因为m0，所以m的取值范围是.答案命题角度三给定参数范围的恒成立问题【例33】 已知a1，1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A.(，2)(3，) B.(，1)(2，)C.(，1)(3，) D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1
11、，1恒成立，所以f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组得x1或x3.答案C规律方法恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)一元二次不等式在xa，b上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数ma，b恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A.1，4B.(，25，)C.(，14，)D.2
12、，5(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解析(1)由于x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)二次函数f(x)对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则解得m0.答案(1)A(2)思想方法1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不
13、等式的理论基础；一般可把a0的情况转化为a0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错防范1.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.2.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若f(x)
14、3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x) B.f(x)g(x)C.f(x)g(x) D.随x的值变化而变化解析f(x)g(x)x22x2(x1)210f(x)g(x).答案B2.已知下列四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0，能推出成立的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析运用倒数性质，由ab，ab0可得，、正确.又正数大于负数，正确，错误，故选C.答案C3.(2017河北省三市联考)若集合Ax|32xx20，集合Bx|2x2，则AB等于()A.(1，3) B.(，1)C.(1，1) D.(3，1)解析依题意，可求得A(1，3)，B
15、(，1)，AB(1，1).答案C4.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4解析由题意知a0时，满足条件.a0时，由得0a4，所以0a4.答案D5.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A.(1，0)B.(2，)C.(，1)(2，)D.不能确定解析由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1，1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2
16、b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.答案C二、填空题6.已知函数f(x)则不等式f(x)3的解集为_.解析由题意知或解得x1.故原不等式的解集为x|x1.答案x|x17.(2016重庆模拟)若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_.解析由已知axb的解集为，可知a0，且，将不等式ax2bxa0两边同除以a，得x2x0，即x2x0，解得1x，故不等式ax2bxa0的解集为.答案8.不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_.解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意
17、的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案8，4三、解答题9.已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1，3)，求实数a，b的值.解(1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.所以不等式的解集为a|32a32.(2)f(x)b的解集为(1，3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1，3，解得即a的值为3，b的值为3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x
18、成(1成10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解(1)由题意得，y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0，2.(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()A.ab1 B.ab1C.a2b2 D.a3b
19、3解析A项：若ab1，则必有ab，反之，当a2，b1时，满足ab，但不能推出ab1，故ab1是ab成立的充分而不必要条件；B项：当ab1时，满足ab1，反之，由ab1不能推出ab；C项：当a2，b1时，满足a2b2，但ab不成立；D项：ab是a3b3的充要条件，综上所述答案选A.答案A12.(2017湛江调研)已知函数f(x)ax2bxc(a0)，若不等式f(x)0(e是自然对数的底数)的解集是()A.x|xln 3B.x|ln 2xln 3C.x|xln 3D.x|ln 2xln 3解析法一依题意可得f(x)a(x3)(a0)，则f(ex)a(ex3)(a0，可得ex3，解得ln 2x0的解
20、集为，令ex3，得ln 2x0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y
21、的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.()(5)不等式x2y20表示的平面区域在直线xy10的下方.
22、(4)直线axbyz0在y轴上的截距是.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A.(0，0) B.(1，1) C.(1，3) D.(2，3)解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选C.答案C3.(必修5P86T3)不等式组表示的平面区域是()解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B4.(2016全国卷)若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_.解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x3与直线xy10的交点(3，4)处取得，代入目标函数zx2y得到
23、5.答案55.若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz.易知当直线y2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.答案2考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2017郑州预测)若不等式x2y22所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为_.(2)(2015重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A.3 B.1 C. D.3解析(1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所
24、示，平面区域N的面积为3(62)12，区域M在区域N内的面积为()2，故所求概率P.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则m1，由解得即A(1m，1m).由解得即B，所围成的区域为ABC，则SABCSADCSBDC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.故选B.答案(1)(2)B规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练1】 若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分
25、为面积相等的两部分，则k的值是()A. B. C. D.解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域.因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.答案A考点二线性规划相关问题(多维探究)命题角度一求目标函数的最值【例21】 (1)(2016全国卷)设x，y满足约束条件则z2x3y5的最小值为_.(2)(2015全国卷)若x，y满足约束条件则的最大值为_.解析(1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线yx过点A(1，1)时，z取得最小值，即zmin2(1)3(1)510.(2)
26、作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.答案(1)10(2)3命题角度二求参数的值或范围【例22】 (2015福建卷)变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A.2 B.1C.1 D.2解析如图所示，目标函数z2xy取最大值2，即y2x2时，画出表示的区域，由于mxy0过定点(0，0)，要使z2xy取最大值2，则目标函数必过两直线x2y20与y2x2的交点A(2，2)，因此直线mxy0过点A(2，2)，故有2m20，解得m1.答案C规律方法线性规划两类问题的解决方法(1)求
27、目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：截距型：形如zaxby；距离型：形如z.斜率型：形如z.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域里，寻求最优解.【训练2】 (1)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A.5 B.3C.5或3 D.5或3(2)(2017西安检测)已知变量x，y满足则z()2xy的最大值为_.解析(1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.由zxay得yx.由图可知当11时，z可取得最小值，此时a1或
28、a1.又直线yx过A点时，z取得最小值，因此a7，化简得a22a150，解得a3或a5，当a3时，经检验知满足题意；当a5时，目标函数zxay过点A时取得最大值，不满足题意，故选B.(2)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m2xy，由图象可知当直线y2xm经过点A时，直线y2xm的纵截距最大，此时m最大，故z最大.由解得即A(1，2).代入目标函数z()2xy得，z()2124.答案(1)B(2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产
29、一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax2 10060900100216
30、000(元).答案216 000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.【训练3】 (2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元C.17万元 D.18万元解析设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可
31、行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).则zmax324318(万元).答案D思想方法1.求最值：求二元一次目标函数zaxby(ab0)的最值，将zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.易错防范1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z
32、的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0)的最大值为1，则m的值是()A. B.1 C.2 D.5解析作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数zymx(m0)为ymxz，由图可知，当直线ymxz过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1，2)，2m1，解得m1.故选B.答案B8.(2016贵州黔东南模拟)若变量x、y满足约束条件则(x2)2y2的最小值为()A. B. C. D.5解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z(x2)2y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C、D间的距离最小，此
33、时z最小.由得即C(0，1)，此时zmin(x2)2y2415，故选D.答案D二、填空题9.设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为_.解析由线性约束条件画出可行域(如图所示).由zx2y，得yxz，z的几何意义是直线yxz在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线yxz过点A(1，1)时，z最小，最小值为3.答案310.(2017滕州模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是_.解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A，B，C(1，1).设z2xy，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，z2x
34、y取得最大值3.答案311.已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示).解析法一设2x3ya(xy)b(xy)，则由待定系数法可得解得所以z(xy)(xy).又所以两式相加可得z(3，8).法二作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x3y0，当相应直线经过xy2与xy4的交点A(3，1)时，z取得最小值，zmin23313；当相应直线经过xy1与xy3的交点B(1，2)时，z取得最大值，zmax21328.所以z(3，8).答案(3，8)12.已知实数x，y满足设bx2y，若b的最小值为2，则b的最大值为_.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所
35、示.作出直线l0：x2y0，y，当l0平移至A点处时b有最小值，bmina，又bmin2，a2，当l0平移至B(a，2a)时，b有最大值bmaxa2(2a)5a10.答案10能力提升题组(建议用时：15分钟)13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A.1 800元 B.2 400元C.2 800元 D
36、.3 100元解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y的约束条件为设获利z元，则z300x400y.画出可行域如图.画直线l：300x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值.由解得即M的坐标为(4，4)，zmax300440042 800(元)，故选C.答案C14.(2017许昌监测)设实数x，y满足则的最小值是()A.5 B.C. D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(1，1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点时，直线AP的斜率最小，此时w的最小值为，故选B.答
37、案B15.已知变量x，y满足约束条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是_.解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3，0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.答案16.(2015浙江卷)若实数x，y满足x2y21，则|2xy4|6x3y|的最大值是_.解析x2y21，2xy40，6x3y0，|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令z103x4y，如图，设OA与直线3x4y0垂直，直线OA的方程为yx，联立得A，当z103x4y过点A时，z取最大值，zmax103415.答案1
38、5第3讲基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值
39、是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(3)函数yx的最小值是2.()(4)函数f(x)sin x的最小值为2.()(5)x0且y0是2的充要条件.()解析(2)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(3)函数yx值域是(，22，)，没有最小值.(4)函数f(x)sin x的最小值为5.(5)x0且y0是2的充分条件.答案(1)(2)(3)(4)
40、(5)2.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A.80 B.77 C.81 D.82解析xy81，当且仅当xy9时等号成立，故选C.答案C3.(2015福建卷)若直线1(a0，b0)过点(1，1)，则ab的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析因为直线1(a0，b0)过点(1，1)，所以1.所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取“”，故选C.答案C4.若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A.1 B.1 C.3 D.4解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C.答案C5.
41、(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x2y30，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号.答案15考点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x，求f(x)4x2的最大值；(2)求函数y的最大值.解(1)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值为1.(2)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y
42、的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值).规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)(2017湖北重点中学一联)若对x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是_.(2)函数y(x1)的最小值为_.解析(1)因为函数f(x)x1在1，)上单调递增，所以函数g(x)x12在0，)上单调递增，所以函数g(x)在1，)的最小值为g
43、(1)，因此对x1不等式x1a恒成立，所以ag(x)最小值，故实数a的取值范围是.(2)y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立.答案(1)(2)22考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_；(2)(2016南昌模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.解析(1)法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由已知得x.法一(
44、消元法)因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案(1)5(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警
45、示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)已知x0，y0且xy1，则的最小值为_.(2)(2016武汉模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为()A.8 B.4 C.2 D.0解析(1)(常数代换法)因为x0，y0，且xy1，所以(xy)1010218，当且仅当，即x2y时等号成立，所以当x，y时，有最小值18.(2)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448.答案(1)18(2)A考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀
46、速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t(h)，y214，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50，100(或yx，x50，100).(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立.故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需
47、利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.【训练3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.解析(1)当l6.05时，F，F1 900，当且仅当v，即v11时取“”.最大车流量F为1 900辆/时.(2)当l5时，F，F2 000，当且仅
48、当v，即v10时取“”.最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100辆/时.答案(1)1 900(2)100思想方法1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab，(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性.易错防范1.使用基本不等式求最值，“一
49、正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是()A.lglg x(x0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.1(xR)解析当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确.答案C2.若2x2y1，则xy的取值范围是()A.0，2 B.2，0C.2，) D.(，2解析22x
50、2y1，所以2xy，即2xy22，所以xy2.答案D3.(2016合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.10解析a，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号.故选C.答案C4.若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 D.a2b28解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立.答案D5.(2015湖南卷)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立.因
51、为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2，故选C.答案C6.(2017日照模拟)若实数x，y满足xy0，则的最大值为()A.2 B.2C.42 D.42解析11142，当且仅当，即x22y2时取等号.故选D.答案D7.若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B.C.2 D.解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案C8.(2017安庆二模)已知a0，b0，ab，则的最小值为()A.4 B.2 C.8 D.16解析由a0，b0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，
52、b时等号成立.故选B.答案B二、填空题9.正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析a，b是正数，abab323，解得3，即ab9.答案9，)10.(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值为_.解析mn0，mn1，m0，n0，b0)的最大值为1，则的最小值为_.解析不等式组所表示的平面区域是以(0，0)，(1，1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线zax2by过点(1，1)时，z有最大值，故a2b1，故12，故ab，故8，当且仅当a2b时等号成立，故的最小值为8.答案815.(2017辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x1)2(y1)28上，则ab的最大值为_.解析由题意知a0，b0，且(a1)2(b1)28，化简得a2b22(ab)6，则62ab4(当且仅当ab时取等号)，令t(t0)，则t22t30，解得0t1，则0ab1，所以ab的最大值为1.答案116.正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_.解析因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216，由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，而x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6.答案6，)
