1、【新教材】4.5.1 函数的零点与方程的解（人教A版）本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。课程目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数数学学科素养1.数学抽象：函数零点的概念；2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；4.
2、数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；难点：零点的概念的形成教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 . 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 . 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .你能将结论进一步推广到吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本142-143页，思考并完成
3、以下问题1. 函数零点的定义是什么？2. 函数零点存在性定理要具备哪两个条件？3.方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点点睛函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0.那么，函数yf
4、(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根点睛定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.四、典例分析、举一反三题型一 求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1) f (x)；(2) f (x)x22x4；(3) f (x)2x3；(4) f (x)1log3x.【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3【解析】 (1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3.(2)令x22x40，由于22414120，所以方程x22x40无实数根，所以函数f(x)x22x4不存
5、在零点(3)令2x30，解得xlog23.所以函数f(x)2x3的零点是log23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.解题技巧：（函数零点的求法）求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练一1已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A. ，0B2,0C. D0【答案】D【解析】当x1时，令2x10，得x0.当x1时，令1log2x0，得x，此时无解综上所述，函数零点为0.题型二 判断函数零点所在区间例2 函数f(
6、x)ln x的零点所在的大致区间是A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(e，)【答案】B【解析】f(1)20，f(2)ln 210，在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)ln 30，f(2)f(3)0，f(x)在(2,3)内有零点解题技巧：（判断函数零点所在区间的3个步骤）(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点跟踪训练二1.若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A2 B0 C1 D3
7、【答案】A【解析】f(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)1210，f(2)2110.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.题型三 判断函数零点的个数例3 判断函数f(x)ln xx23的零点的个数【答案】有一个零点【解析】法一图象法函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点，从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点法二判定定理法由于f(1)ln 1123
8、20，f(2)ln 2223ln 210，f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个解题技巧：（判断函数存在零点的3种方法）(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数(2)图象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法：函数yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即
9、可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点跟踪训练三1.函数f(x)的图象和函数g(x)log2x的图象的交点个数是_【答案】3【解析】作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.5.1对数函数的概念1. 零点定义 例1 例2 例3 2. 零点存在性定理 七、作业课本155页2、3、7、11.本节课结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；通过图像进一步掌握零点存在的判定定理.从而解决本节课的三种题型.