1、第三讲变量间的相关关系、统计案例知识梳理双基自测知识点一回归分析(1)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系与函数关系不同，相关关系是一种_非确定性关系_.(2)散点图：表示具有_相关_关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示若这些散点有y随x增大而增大的趋势，则称两个变量_正相关_；若这些散点有y随x增大而减小的趋势，则称两个变量_负相关_.(3)回归方程：x，其中，_，它主要用来估计和预测取值，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解(4)相关系数：r它主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之
2、间的线性相关程度当r0时表示两个变量正相关，当r0时表示两个变量负相关|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性_越强_；当|r|接近0时，表明两个变量间几乎不存在相关关系，相关性_越弱_.知识点二独立性检验(1)22列联表设X，Y为两个分类变量，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(22列联表)如下：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd(2)独立性检验利用随机变量K2(也可表示为X2)(其中nabcd为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验(3)独立性检验的一般步骤根据样本数据列出22列联表；计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0
3、：如果kk0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2k0)的前提下不能推断“X与Y有关”1回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性分布时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值2独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和实际生活题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“名师出高徒”可以解释为
4、教师的教学水平与学生的水平成正相关关系()(2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0.()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值()(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x()之间的关系，得回归方程2.352x147.767，则气温为2 时，一定可卖出143杯热饮()(5)事件x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大()(6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀()题组二走进教材2(P97T2)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视
5、，在140名女生中有70名近视在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(C)A回归分析B均值与方差C独立性检验D概率解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断3(P81例1)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为_68_.解析由30，得0.673054.975.设表中的“模糊数字”为a，则62a758189755，a68.题组
6、三走向高考4(2017山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为x，已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(C)A160B163C166D170解析由题意知4x又22.5，160，因此16022.54，70，因此4x70，当x24时，42470166，故选C5(2019高考全国卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010
7、女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2.P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)由题可得K24.762.由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异考点突破互动探究考点一相关关系的判断自主练透例1 (1)(2021四川资阳模
8、拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图，下列结论中正确的是(B)A人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%(2)对四组数据进行统计，获得以下关于其相关系数的比较，正确的是(A)Ar2r40r3r1Br4r20r1r3Cr4r20r3r1Dr2r40r1r3解析(1)观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于
9、20%，故选B(2)由相关系数的定义及散点图所表达的含义，可知r2r40r30时，正相关；r0时，正相关；k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0720.7063.8415.0246.6357.87910 828解析(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32186864，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为0.64.根据抽查数据，可得22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,756416(75,1151010根据的列联表得K27.48
10、4.由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关(2)因为男生人数为：12055，所以女生人数为1205565，于是可完成22列联表，如下：满意不满意总计男生302555女生501565合计8040120根据列联表中的数据，得到K2的观测值K26.7136.635，所以有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”由可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为0,1,2,3，并且服从超几何分布，P(k)(k0,1,2,3)，即P(0)，P(1)P(2)，P(3).可得分布列为0123PE()0123.名师点拨解独立性检验的应用问题的关注点(
11、1)两个明确：明确两类主体明确研究的两个问题(2)两个关键：准确列出22列联表：准确理解K2.注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1p.变式训练2(2021湖北十堰调研)某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额(元)0,15)15,30)30,45)45,60)60,75)75,90人数101520152010(1)根据以上数据完成22列联表，并判
12、断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；不少于60元少于60元合计男40女18合计(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p(每次中奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望附：参考公式和数据：K2，nabcd.附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P(K2k0)0.1500.1000.0500.0100.005解析(1)22列联表如下：不少于60元少于60
13、元合计男124052女182038合计306090K23.841，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关(2)X可能取值为65,70,75,80，且p，P(X65)C3，P(X70)C2，P(X75)C2，P(X80)C3，所以X的分布列为X65707580P(X)E(X)6570758075.名师讲坛素养提升非线性回归问题例4 (2020内蒙古乌兰察布等五市调研)一个调查学生记忆的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下：时间t(分钟)102030405060708090
14、100答对人数y987052363020151155lg y1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7时间t与答对人数y的散点图如图： 附：38 500，i342，g yi13.5，iyi10 960，ilg yi620.9，对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.请根据表格数据回答下列问题：(1)根据散点图判断，yatb与lg yctd，哪个更适宣作为线性回归类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果，建立y与t的回归方程；(数据保留3位有效数字)(3)根据(2)请估
15、算要想记住75%的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍(参考数据：lg 20.3，lg 30.48)解析(1)由图象可知，lg yctd更适宜作为线性回归类型；(2)设lg yctd，根据最小二乘法得c0.014 7，dc2.16，所以lg y0.014 7t2.16，因此y100.014 7t2.16；(3)由题意知y100.014 7t2.1675，即0.014 7t 2.162lg 32lg 21.88，解得t19.05，即至多19.05分钟，就需要重新复习一遍名师点拨非线性相关问题一般通过换元法转化为线性相关(线性回归分析)问题解决变式训练3(2020课标)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i1,2，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 至40 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(D)AyabxByabx2CyabexDyabln x解析观察题中散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象，故选D