1、第二讲一元二次不等式及其解法知识梳理双基自测知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于_零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)(2)计算相应的_判别式_.(3)当_0_时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的_交点_确定一元二次不等式的解集知识点二三个二次之间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有_两相异_实根x1，x2(x10(a0)的解集x|_xx2或xx1_x|xR且_xx1_R_ax2bxc0)的解集x|_x1x0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xR)2ax2b
2、xc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(0(1，af(x)ag(x)f(x)g(x)；若0aag(x)f(x)1，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0；若0alogag(x)0f(x)g(x)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2b
3、xc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集是(B)ABC(，0)D3(必修5P80A组T4改编)已知集合Ax|x2x60，则RA等于(B)Ax|2x3Bx|2x3Cx|x3Dx|x2x|x3解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.题组三走向高考5(2019天津高考)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围是_.解析3x2x20(x1)(3x2)0，(x1)01x，x的取值范围是.考点突破互动探究考点一一元二次不等式的解法多维探究角度1不含参数的不等式例1 解下列不等式(1)2x2x30.分析(1)将二次项系数化为
4、正数，变为2x2x30，求方程2x2x30的根，若无根，则解集为R，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集解析(1)化2x2x30，(x1)(2x3)0，即(x1)0，x或x1，原不等式的解集为(，1).(2)因为0的解集为R.名师点拨解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集角度2含参数的不等式例2 解下列关于x的不等式：(1)ax2(a1)x10(aR)；(2)x22ax20(aR)；分析(1)因
5、二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论与1的关系，故需分a0，a0,0a1五种情况求解；(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系；解析(1)若a0，原不等式等价于x10，解得x1.若a0，则原不等式等价于(x1)0，解得x或x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)0无解；当a1时，1，解(x1)0得x1；当0a1时，1，解(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.(2)对于方程x22ax20，因为4a2
6、8，所以当0，即a时，x22ax20无实根又二次函数yx22ax2的图象开口向上，所以原不等式的解集为；当0，即a时，x22ax20有两个相等的实根，当a时，原不等式的解集为x|x，当a时，原不等式的解集为x|x；当0，即a或a时，x22ax20有两个不相等的实根，分别为x1a，x2a，且x1x2，所以原不等式的解集为x|axa综上，当a或a时，解集为x|axa；当a时，解集为x|x；当a时，解集为x|x；当a时，解集为.名师点拨含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式
7、，以便写出解集，若0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由0确定)(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正变式训练1(1)(角度1)(2021北京市海淀区期末)不等式x22x30的解集为(D)Ax|x1Bx|x3Cx|1x3Dx|3x1(2)(角度2)解不等式x2(a1)xa0(aR)解析(1)由x22x30得(x3
8、)(x1)0，解得3x1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是(B)Ax|2x0在区间1,5上有解，则a的取值范围是(A)ABC(1，)D分析(1)利用根与系数的关系求解(2)令f(x)x2ax2，a280恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)0或f(1)0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2ax20在区间1,5上恒成立的a的取值集合，只需f(5)0，再求其补集即可；思路三：分离参数解析(1)不等式ax2bx10的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，
9、方程f(x)0，有两个不等实根，又两根之积为负，方程有一正根和一负根解法一：不等式x2ax20在区间1,5上有解，只要f(1)0或解得a1或a0在区间1,5上有解的a的取值范围是.解法三：x2ax20在区间1,5上有解ax在1,5上有解af(x)min(记f(x)x，x1,5)，显然f(x)为减函数，f(x)minf(5)，a.引申若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是_(，1)_.解析由例3(2)的解析知，不等式x2ax20在区间1,5上有解，ax，x1,5有解，显然g(x)x在1,5上递减，gmax(x)g(1)1，a1.名师点拨已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的
10、根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，2)变式训练2(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a(A)ABCD(2)(2021九江模拟)若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(A)A(，2)B(2，)C(6，)D(，6)解析(1)解法一：由题意知x1，x2是方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2.又x2x115，(x2x1)2(x1x2)24x1x24a232a236a2152.a0，a，故选A解法二：由x22ax8a
11、2(x2a)(x4a)0，不等式的解集为(2a,4a)又不等式的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x14a(2a)6a15，a，故选A(2)解法一：由函数f(x)x24x2a图象的对称轴为x2.不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解f(4)0，即a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.故选A考点三一元二次不等式恒成立问题师生共研例4 已知f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对于|m|1，f(
12、x)0恒成立，求实数x的取值范围分析(1)二次项系数含有字母m，应分m0和m0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m的一次不等式，根据一次函数的性质求解解析(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以m的取值范围为(4,0(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，只需mx2mxm0，所以m.令y.因为t2在1,3上是增函数，所以y在1,3上是减函数因此函数的最小值ymin.所以m的取值范围是.(3)将不等式f(x)0整理成关于m的不等式为(x2x)m10.令g(m)(x2x)m1，m1,1则即解得x0(或0)对于一切xR恒成立的条件是(2)一
13、元二次不等式ax2bxc0(或0)对于一切xR恒成立的条件是2在给定某区间上恒成立(1)当xm，n，f(x)ax2bxc0恒成立，结合图象，只需f(x)min0即可；(2)当xm，n，f(x)ax2bxc0恒成立，只需f(x)max0即可3解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数4“不等式f(x)0有解(或解集不空)的参数m的取值集合”是“f(x)0的解集为”即“f(x)0恒成立”注意：ax2bxc0恒成立或；ax2bxc0恒成立或.变式训练3(1)若不等式(a3)x22(a3)x40对一切xR恒成立，则实数a取值的集合为(D)A(
14、，3)B(1,3)C1,3D(1,3(2)(2021山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x24xm对任意的x(0,1恒成立，则有(A)Am3Bm3C3m0Dm4(3)已知对于任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是(B)Ax|1x3Bx|x3Cx|1x2Dx|x2解析(1)当a3时，40恒成立；当a3时，解得1a3.所以1a3.故选D(2)令f(x)x24x，x(0,1，f(x)图象的对称轴为直线x2，f(x)在(0,1上单调递减，当x1时，f(x)取得最小值3，m3，故选A(3)记g(a)(x2)ax24x4，a1,1，依题意，只须x3，故选B名师讲
15、坛素养提升一元二次方程根的分布设一元二次方程ax2bxc0(a0)，记f(x)ax2bxc.(1)方程无根b24ac0，记其根为x1，x2且x10或x10x10x2或x10x2af(0)0；x1x20或x1x2x1kx1kx2af(k)0；x1x2kmx1nx2x1mx2nmx1x2nx1mnx2mx1nx20.(1)一根在(1,2)内，另一根在(1,0)内应满足即，解得m0.(2)一根在(1,1)内，另一根不在(1,1)内，应满足f(1)f(1)0，即(2m1)(2m3)或m，又m10，m1，m范围(1，)(3)一根小于1，另一根大于2，应满足即解得：0m1.(4)一根大于1，另一根小于1，应满足(m1)f(1)0，即(m1)(2m3)1或m.(5)两根都在(1,3)内，应满足，解得：m.(6)两根都大于0，应满足，解得：0m1或m.(8)在(1,2)内有解应满足或f(1)f(2)0解得m0，经检验m及m0都不合题意舍去，m0.变式训练4(1)(2021山东实验中学诊断)如果方程x2(m1)xm220的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是_(2,1)_.(2)若方程x2(k2)xk0的两实根均在区间(1,1)内，则k的取值范围为_42k_.解析(1)记f(x)x2(m1)xm22，由题意可知f(1)m2m20，解得2m1.(2)由题意得，解得42k.