1、新20版练B1数学人教A版3.2.2奇偶性第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质3.2.2 奇偶性第1课时 函数的奇偶性考点1函数奇偶性概念的理解1.奇函数y=f(x)(xR)的图像必定经过点()。A.(a,f(-a)B.(-a,f(a)C.(-a,-f(a)D.a,f1a答案:C解析: y=f(x)是奇函数,f(-a)=-f(a)。故选C。2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)的值为()。A.-1B.0C.1D.无法确定答案:B解析: f(x)为R上的奇函数,f(-x)=-f(x),f(0)=-f(0),f(0)=0。3.下列说法正确的是()。A.偶函数的图像一定与y轴相交
2、B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.奇函数y=f(x)的图像一定过原点D.图像过原点的奇函数必是单调函数答案:B解析: A项,若定义域不包含0,则图像与y轴不相交;C项,若定义域不包含0,则图像不过原点;D项,奇函数不一定是单调函数。故选B。4.下列说法中错误的个数为()。图像关于坐标原点对称的函数是奇函数;图像关于y轴对称的函数是偶函数;奇函数的图像一定过坐标原点;偶函数的图像一定与y轴相交。A.4 B.3 C.2 D.1答案:C解析: 由奇函数、偶函数的性质,知说法正确;对于,如f(x)=1x,x(-,0)(0,+),它是奇函数,但它的图像不过原点,所以说法错误;对
3、于,如f(x)=1x2,x(-,0)(0,+),它是偶函数,但它的图像不与y轴相交,所以说法错误。故选C。5.下列函数不具备奇偶性的是()。A.y=-xB.y=-1xC.y=x-1x+1D.y=x2+2答案:C解析: y=-x与y=-1x都是奇函数,y=x2+2是偶函数,y=x-1x+1的定义域为xR|x-1,不关于原点对称,故y=x-1x+1既不是奇函数也不是偶函数,故选C。6.函数f(x)=1x-x的图像()。A.关于y轴对称B.关于直线y=x对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称答案:C解析: f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且f(-x)=-1x-(-x)
4、=x-1x=-f(x),f(x)是奇函数,其图像关于原点对称。7.偶函数y=f(x)的定义域为t-4,t,则t=。答案:2解析: 偶函数的定义域关于原点对称,故t-4=-t,得t=2。8.下面三个结论:如果一个函数的定义域关于原点对称,则这个函数为奇函数;如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于原点对称;如果一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数只能为偶函数。其中正确的个数是。答案:1解析: 一个函数的定义域关于原点对称,不一定是奇函数,还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等,所以是错误的;正确;f(x)=0(xR)的图像关于y轴对称,f(x)既是奇函数又是偶函数,不正确。考点2函数奇偶性的判
5、断9.(2018北京海淀外国语实验中学高一期中)下列函数为偶函数的是()。A.f(x)=x4-1B.f(x)=x2(-1x3)C.f(x)=x+1xD.f(x)=x4x答案:A解析: 选项A中,f(-x)=x4-1=f(x),且定义域为R,故该函数为偶函数;选项B中的函数定义域不关于原点对称,故该函数为非奇非偶函数;选项C中,f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),又定义域关于原点对称,故该函数为奇函数;选项D中,f(-x)=-x4x=-f(x),又定义域关于原点对称,故该函数为奇函数。故选A。10.函数f(x)=1|x| -x2的图像关于()。A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标
6、原点对称D.直线y=x对称答案:A解析: 函数f(x)=1|x|-x2的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且f(-x)=1|-x|-(-x)2=1|x|-x2=f(x),所以f(x)为偶函数,故其图像关于y轴对称。11.(2019辽宁凌源高一期末调考)下列函数中,既是奇函数,又在(0,1)上是增函数的是()。A.y=x(x-1)B.y=1x2 -xC.y=x(x2-1)D.y=2x-1x答案:D解析: A.y=x(x-1)=x2-x的对称轴为x=12, 所以在0,12上单调递减,且为非奇非偶函数,不符合;B.y=1x2-x在(0,1)上为减函数,不符合;C.y=x(x2-1),当x=
7、12时,y=-38=-2464,当x=14时,y=-1564,所以函数在(0,1)上必定不是增函数,不符合;D.y=2x-1x满足函数为奇函数,且函数在(0,1)上是增函数。故选D。12.(2019广东中山一中统测)下列函数是奇函数,且在区间(0,1)上为减函数的是()。A.f(x)=x+1x B.f(x)=x+1x2 C.f(x)=x2+1D.f(x)=x3答案:A解析: 对于A,f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且f(-x)=(-x)+1-x=-x+1x=-f(x),则f(x)为奇函数,且在(0,1)上为减函数,所以A符合;对于B,f(x)的定义域为(-,0)(0,+)
8、,关于原点对称,而f(-x)=-x+1x2-f(x),所以B不符合;对于C,f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=x2+1=f(x),则f(x)为偶函数,所以C不符合;对于D,f(x)的定义域R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),则f(x)为奇函数,但在(0,1)上为增函数,所以D不符合,故选A。13.(2018安徽安庆一中高三上月考)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法正确的是()。A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.g(x)=f(x)+1为奇函数D.g(x)=f(x)+1
9、为偶函数答案:C解析: 对任意x1,x2R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,得f(0)=-1;令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,g(x)=f(x)+1=-f(-x)-1=-f(-x)+1=-g(-x),g(x)=f(x)+1为奇函数。故选C。14.函数f(x)=x(1-x),x0为。(填“奇函数”或“偶函数”)答案: 奇函数解析: 定义域关于原点对称,且f(-x)=-x(1+x),-x0=-x(1+x),x0,-x(1-x),xf(1),则下列各式中一定成立的是()。A.f(-1)f(3)B.f(0)f(2)D.f(2)f(0)答案
10、:A解析: f(x)是定义在R上的偶函数,f(-1)=f(1)。又f(3)f(1),f(3)f(-1)。故选A。18.(2019浙江台州高一上期中考试)已知f(x)为R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=()。A.1B.2C.-1D.-2答案:D解析: 因为函数f(x)为R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2+1x,所以f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2。故选D。19.函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在a-1,2a上的偶函数,则a+b=()。A.-13B.13C.0D.1答案:B解析: 由偶函数的定义,知a-1,2a关于原点对称,所以2a=1-a,解
11、得a=13。又f(x)为偶函数,所以b=0,所以a+b=13。20.(2019河南濮阳高一上期末考试)对于定义域为R的奇函数f(x),下列结论一定成立的是()。A.f(x)-f(-x)0B.f(x)-f(-x)0C.f(x)f(-x)0D.f(x)f(-x)0答案:C解析: f(x)是定义域为R的奇函数,f(-x)=-f(x),f(x)-f(-x)=2f(x),其值与f(x)的取值有关,f(x)f(-x)=-f 2(x)0,故选C。21.若奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(3)=0,则不等式f(x)-f(-x)20的解集为()。A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.
12、(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)答案:A解析: f(x)为奇函数,f(3)=0,f(-3)=0。f(x)在(0,+)上为增函数,f(x)在(-,0)上为增函数,f(x)-f(-x)2=f(x)0。当x0时,f(x)f(3),x3;当xf(-3),-3x0。原不等式的解集为(-3,0)(3,+)。22.(2019云南昆明官渡一中高一期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在0,+)上为增函数,且f(-3)=0,则不等式f(2x-1)0的解集为()。A.(-1,2)B.(-,-1)(2,+)C.(-,2)D.(-1,+)答案:A解析: 因为f(-3)=0,且该函数为偶函数,
13、所以f(3)=f(-3)=0,所以不等式f(2x-1)0等价于f(|2x-1|)f(3)。又因为f(x)在0,+)上为增函数,由题意得|2x-1|3,所以-1x2,故选A。23.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解析式为。答案:f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0解析: 设x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x。又y=f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x)。f(x)=-f(-x)=-x2-2x,f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0。答案: 结合函数f(x)的图像,可知不等式xf(x)0的解集是(-2
14、,0)(0,2)。26.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x(0,+)时,f(x)=3x(1+x)。(1)求f(27)与f(-27)的值;答案: 由题意知f(27)=327(1+27)=84。f(x)是定义在R上的奇函数,f(-27)=-f(27)=-84。(2)求f(x)的解析式。答案:f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0。设x0,f(-x)=3-x1+(-x)=-3x(1-x)。又f(-x)=-f(x),f(x)=3x(1-x),f(x)=3x(1+x),x0,0,x=0,3x(1-x),x0。第2课时函数基本性质的综合问题考点1分段函数的性质及其应用1.用mina,b表示a,
15、b两个数中的最小值,设f(x)=min-x-2,x-4,则f(x)的最大值为()。A.-2B.-3C.-4D.-6答案:B解析: 由题意知f(x)=x-4,x1,-x-2,x1,所以f(x)max=f(1)=-3,故选B。2.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1x0,x,0x1,则f32的值为()。A.32B.1C.-7D.5答案:B解析: f32=f-12=-4-122+2=1,故选B。3.(2018浙江绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=-(x-1)2+1,满足ff(a)=12的实数a的个数为()。A.2B.4C.6
16、D.8答案:D解析: 当x0,f(x)=f(-x)=-(-x-1)2+1=-(x+1)2+1,令f(t)=12t0,-(t-1)2+1=12或t0,-(t+1)2+1=12t=122或t=-122,即f(a)=122或f(a)=-122,画出f(x)的函数图像,如图所示,从而可知满足条件的a共有8个。故选D。4.设函数f(x)=-x2,x0,若f(x)是奇函数,则g(2)的值是()。A.-4B.-2C.2D.4答案:D解析: g(2)=f(2)=-f(-2)=(-2)2=4。5.已知f(x)是定义在区间-2,2上的奇函数,它在(0,2上的图像是一条如图3-2-2-2-1所示的线段(不含点(0,
17、1),则不等式f(x)-f(-x)x的解集为。图3-2-2-2-1答案: -2,-1)(0,1)解析: 由已知当0x2时,f(x)=-12x+1,又因为f(x)为奇函数,所以当-2xx可化为2f(x)x,显然x=0不是它的解。当0x,解得0x1。当-2xx,解得-2x0,1,x=0,-x-1,x0,0,x=0,-1,x1),则()。A.sgng(x)=sgn xB.sgng(x)=sgnf(x)C.sgng(x)=-sgnf(x)D.sgng(x)=-sgn x答案:D解析: 根据函数f(x)在R上单调递增,不妨设f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)-f(ax)=-x,sgng(x)=-
18、sgn x,sgnf(x)=sgn x,所以A,B不正确;对于C,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)-f(ax)=-x,sgnf(x)=sgn(x+1)=1,x-1,0,x=-1,-1,x0,0,x=0,1,x-1,0,x=-1,1,x0的x的取值范围为()。A.(-,1)(1,2)B.(-2,0)(1,2)C.(-2,1)(2,+)D.(-,-2)(1,+)答案:B解析: 由条件知函数f(x)是奇函数,且在(0,+)上是减函数,f(-2)=0,f(2)=0,根据这些特点可以画出图像(图略),得到f(x)0的x的取值范围为(-,-2),(0,2)。故可求得满足(x-1)f(x)0
19、的x的取值范围为(-2,0)(1,2)。14.(2019内蒙古包头高一期末)已知定义在(0,+)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y(0,+),总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)1的解集是()。A.(1,+)B.(1,2)C.(-,2)D.(0,2)答案:B解析: 令x=y=1,得f(11)=2f(1)-1,则f(1)=1,故所求不等式等价于x-10,f(x-1)f(1)。又函数f(x)在(0,+)上为减函数,故上述不等式组变为x-10,x-11,解得1x0。如果存在实数x1,3,使得不等式f(x-c)+f(x-c2)0成立,则实数c的取值范围是()。A.
20、(-3,2)B.-3,2C.(-2,1)D.-2,1答案:A解析: f(x)是R上的奇函数,f(a)-f(b)a-b=f(a)+f(-b)a+(-b)0,不妨设ab,a-b0,f(a)-f(b)0,即f(a)f(b)。f(x)在R上单调递增。f(x)为奇函数,f(x-c)+f(x-c2)0等价于f(x-c)f(c2-x),不等式等价于x-cc2-x,即c2+c2x。存在实数x1,3使得不等式c2+c2x成立,c2+c6,即c2+c-60,解得-3c0,给出下列四个命题:f(3)=0;直线x=-6是函数y=f(x)图像的一条对称轴;函数y=f(x)在区间-9,-6上为增函数;函数y=f(x)在区
21、间0,2 014上的图像与x轴有335个交点。其中真命题的序号为。答案: 解析: 根据题意,取x=-3,有f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),所以f(3)=0,从而f(x+6)=f(x)。因为y轴是函数图像的对称轴,所以直线x=-6也是函数图像的一条对称轴,故是正确的。又当x1,x20,3,且x1x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x20,可知函数在0,3上是增函数,所以函数在-3,0上是减函数,故函数在-9,-6上是减函数,故是不正确的。因为2 014=3+6335+1,且f(3)=0,所以函数y=f(x)在区间0,2 014上的图像与x轴有336个交点,故是不正确的。考点4函数
22、基本性质的综合应用17.(2019青海师大附中高一期中)定义在R上的函数f(x)满足对任意x,yR恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0。(1)求f(1)和f(-1)的值;答案: 令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)。f(1)=0。令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),f(-1)=0。(2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;答案: f(x)为偶函数。证明如下:令y=-1,由f(xy)=f(x)+f(y),得f(-x)=f(x)+f(-1),又f(-1)=0,f(-x)=f(x),又f(x)不恒为0,f(x)为偶函数。(3)若当x0时,f(x)为增函数,求
23、满足不等式f(x+1)-f(2-x)0的x的取值集合。答案: 由f(x+1)-f(2-x)0,知f(x+1)f(2-x)。又由(2)知f(x)=f(|x|),f(|x+1|f(|2-x|)。又f(x)在0,+)上为增函数,|x+1|2-x|。故x的取值集合为xx12。18.(2018黄冈调考)已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若a,b-1,1,当a+b0时,则有f(a)+f(b)a+b0成立。(1)判断f(x)在-1,1上的单调性,并证明;答案: f(x)在-1,1单调递增。证明如下:任取x1,x2-1,1,且x10,又x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)
24、f(x2)。f(x)在-1,1上单调递增。(2)解不等式:fx+12f1x-1;答案: f(x)在-1,1上单调递增,x+121x-1,-1x+121,-11x-11。-32x-1。故原不等式的解集为x|-32x-1。(3)若f(x)m2-2am+1对所有的a-1,1恒成立,求实数m的取值范围。答案: f(1)=1,f(x)在-1,1上单调递增,在-1,1上f(x)1,问题转化为m2-2am+11,即m2-2am0对a-1,1恒成立。设g(a)=-2ma+m2,则必须g(-1)0,且g(1)0,即2m+m20,-2m+m20,m-2或m=0或m2。综上所述,实数m的取值范围是(-,-202,+)。