1、第十二讲导数在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性知识梳理双基自测知识点函数的单调性(1)设函数yf(x)在某个区间内 可导 ，若f(x) 0，则f(x)为增函数，若f(x) 0(或f(x) 0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 f(x)0(或f(x)0.()(2)若函数yf(x)在(a，b)内恒有f(x)0，则yf(x)在(a，b)上一定为增函数()(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(4)因为y的导函数为y，x0，y0，因此y的减区间为(0，)()解析(1)有可能f(x)0，如f(x)x3，它在(，)上为增函数，但f(x)x20.(
2、2)因为yf(x)若为常数函数，则一定有f(x)0满足条件，但不具备单调性(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性(4)y定义域为(0,1)(1，)，因此它的减区间为(0,1)和(1，)题组二走进教材2(选修22P26T1改编)函数f(x)x36x2的单调递减区间为(A)A(0,4) B(0,2)C(4，) D(，0)解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0xf(3)f() Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2)解析f(x)1cos x，当x(0，时，f(x
3、)0，所以f(x)在(0，上是增函数，所以f()f(3)f(2)故选D.4(选修22P31AT3改编)已知函数yf(x)在定义域(3,6)内可导，其图象如图，其导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为 1,24,6) .解析f(x)0，即yf(x)递减，故f(x)0，解集为1,24,6)题组三走向高考5(2017浙江，4分)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是(D)解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在
4、(，x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C，选D.6(2016全国卷，5分)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是(C)A. BC D解析函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，等价于f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x0在(，)上恒成立设cos xt，则g(t)t2at0在1,1上恒成立，所以解得a.故选C.注：文科(sin 2x)(2sin xcos x)2(sin x)cos xsin x(cos x)2(cos2xsin2x)2cos 2x.考点突破互动探究考点函数的单调性考向1不含
5、参数的函数的单调性自主练透例1 (1)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是(A)A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)(2)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是(D)A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)(3)函数f(x)x2的单调递增区间是 (，0) ；单调递减区间是 (0,1) .(4)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是 和.解析(1)f(x)2x(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数(2)f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.排除法：观察yx3，
6、yex，在(3，)上递增，选D.(3)f(x)的定义域为x|x1，f(x)1.令f(x)0，得x0.当0x1时，f(x)0.当x0.f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0,1)(4)f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.名师点拨用导数f(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：(1)当不等式f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0)讨论f(x)的单调性解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，则x11，x2，若a1，则f(x)0恒成立，所以
7、f(x)在(0，)上是增函数若0a1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数若a1，则00，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数，综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上是增函数；当0a1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数名师点拨(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点(3)个别导数为0的点不影响
8、在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数变式训练1设函数f(x)xaln x(aR)，讨论f(x)的单调性解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.令g(x)x2ax1，则方程x2ax10的判别式a24.当|a|2时，即2a2时，0，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a0，g(x)0的两根都小于0，在(0，)上恒有f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0有两根为x1，x2，当0x0；当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，故f(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减
9、综上得，当a2时，f(x)在(0，)上单调递增；当a2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减考向3利用导数解决函数的单调性的应用问题多维探究角度1比较大小例3 已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为(A)Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f(1)f，故选A.角度2解不等式例4 设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0
10、，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是(A)A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3)C(，3)(3，) D(，3)(0,3)解析f(x)g(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0.f(x)g(x)在(，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)0，f(x)g(x)在(0，)上也是增函数f(3)g(3)0，f(3)g(3)0.f(x)g(x)0的解集为(3,0)(3，)故选A.角度3已知函数的单调性求参数取值范围例5 若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是(D)A(，2 B(
11、，1C2，) D1，)分析利用函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增等价于f(x)0在(1，)恒成立求解或利用区间(1，)是f(x)的增区间的子集求解解析解法一：因为f(x)在(1，)上单调递增，所以f(x)0在(1，)上恒成立，因为f(x)kxln x，所以f(x)k0，即k.因为x1，所以00)，当k0时，f(x)k0时，由f(x)0知x，即是f(x)的增区间. 由题意可知1，即k1，故选D.引申本例中(1)若f(x)的增区间为(1，)，则k 1 ；(2)若f(x)在(1，)上递减，则k的取值范围是 (，0 ；(3)若f(x)在(1，)上不单调，则k的取值范围是 (0,1) ；(
12、4)若f(x)在(1，)上存在减区间，则k的取值范围是 (，1) ；(5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是 1，).解析(1)由解法2知1，k1；(2)由题意知f(x)0在(1，)上恒成立即k，又x1，01，k0，即k的取值范围是(，0；(3)由本例及引申(2)知，f(x)在(1，)上单调，则k0或k1，f(x)在(1，)上不单调，则0k1.即k的取值范围是(0,1)；(4)由题意可知f(x)0在(1，)内有解即k，x(1，)有解，由01可知k1，即k的取值范围是(，1)；(5)x(1,2)，1，若f(x)在(1,2)上单调增，则f(x)0恒成立，即k，k1.若f(x)在(1,2
13、)上单调减，则f(x)0恒成立，即k，k.f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是(，1，)名师点拨已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则f(x)0；若函数f(x)单调递减，则f(x)0”来求解提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解变式训练2(1)(角度1)已知函数f(x)x2ln x，则有(A)Af(2)f(e)
14、f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)f(2)(2)(角度2)(2021昆明模拟)已知函数f(x)xsin xcos xx2，则不等式f(ln x)f0)，在(0,1)上递减，在(1，)上递增，f(3)f(e)f(2)故选A.(2)函数f(x)xsin xcos xx2的导数为f(x)sin xxcos xsin x2xx(2cos x)，则x0时，f(x)0，f(x)单调递增，且f(x)(x)sin(x)cos(x)(x)2f(x)，所以f(x)为偶函数，即有f(x)f(|x|)，则不等式f(ln x)f)2f(1)，即为f(ln x)f(1)，即
15、为f(|ln x|)f(1)，则|ln x|1，即1ln x1，解得x0)，f(x)x3，函数f(x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，f(x)x3在(t，t1)上有变号零点，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)名师讲坛素养提升构造法在导数中的应用例6 f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)f(x)，对任意正实数a，下列式子成立的是(B)Af(a)eaf(0)Cf(a)解析令g(x)，g(x)0.g(x)在R上为增函数又a0，g(a)g(0)，即，即f(a)eaf(0
16、)例7 (2015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(A)A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)故选A.名师点拨(1)对于不等式f(x)g(x)0(或0(或k(或0(或0(或0(或0(或1，则不等式f(x)x0的解集为 (2，) .(2)函数f(x)的导函数f(x)，对任意xR，都有f(x)f(x)成立，若f(ln 2)2，则满足不等式f(x)ex的x的范围是(C)Ax1 B0xln 2 D0x0，g(x)为增函数g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)(2)由题意，对任意xR，都有f(x)f(x)成立，即f(x)f(x)0，令g(x)，则g(x)0，所以函数g(x)为单调递增函数，又因为不等式f(x)ex，即g(x)1，因为f(ln 2)2，所以g(ln 2)1，所以不等式的解集为xln 2，故选C.