1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果物体的运动方程为s(t)=1t+2t(t1),其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在2秒末的瞬时速度是()A.74米/秒B.94米/秒C.32米/秒D.52米/秒解析s(t)=1t+2t,s(t)=-1t2+2.故物体在2秒末的瞬时速度s(2)=-14+2=74(米/秒).答案A2.若函数f(x)=13x3-f(1)x2-x,则f(1)的值为()A.0B.2C.1D.-1解析f(x)=13x3-f(1)x2-x,f(x)=x2-2f(1)x
2、-1,f(1)=1-2f(1)-1,f(1)=0.答案A3.已知函数f(x)=x4+ax2+1,若曲线y=f(x)在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=()A.9B.6C.-9D.-6解析f(x)=4x3+2ax,由题意,知f(-1)=-4-2a=8,a=-6.故选D.答案D4.函数f(x)=exsin x在区间0,2上的值域为()A.0,e2B.(0,e2)C.0,e2)D.(0,e2解析f(x)=ex(sinx+cosx).x0,2,f(x)0,f(x)在0,2上是单调增函数,f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f2=e2.答案A5.(2020周口中英文学校高二月考)已知函
3、数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3,+)C.(2,+)D.(-,3)解析f(x)=6x2+2ax+36.因为f(x)在x=2处有极值,所以f(2)=0,解得a=-15.令f(x)0,得x3或x2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+).答案B6.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1解析f(x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1,则f(-2)=4-2(a+2)+a-1e-3=0,解得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)ex-1
4、,f(x)=(x2+x-2)ex-1,令f(x)=0,得x=-2或x=1,当x1时,f(x)0,当-2x1时,f(x)0),则y=f(x)()A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点B.在区间1e,1,(1,e)内均无零点C.在区间1e,1内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点解析f(x)=13-1x=x-33x,令f(x)=0,得x=3,当0x3时,f(x)0,f(e)=e3-10,所以y=f(x)在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点.答案D8.(2020山西高二月考)f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,xf(x)-f(x)0的
5、解集为()A.(-,-3)(3,+)B.(-,-3)(0,3)C.(-3,3)D.(-3,0)(3,+)解析设函数g(x)=f(x)x,则g(x)=xf(x)-f(x)x2,当x0时,xf(x)-f(x)0,所以此时g(x)=xf(x)-f(x)x20时单调递减,且f(3)=0.画出函数g(x)=f(x)x的草图(只体现单调性),则不等式f(x)x0的解集为0x3或x-3.设切线的倾斜角为,则tan-3,故可得0,223,.故选CD.答案CD10.(2020福建连城第一中学高二期中)如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图像,则下面判断正确的有()A.在(-2,1)上f(x)是增函数B.
6、在(3,4)上f(x)是减函数C.在x=-1处取得极小值D.在x=1处取得极大值解析根据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得如下数据:x(-3,-1)-1(-1,2)2(2,4)4(4,+)f(x)-0+0-0+f(x)极小值极大值极小值在(3,4)上f(x)是减函数,在x=-1处取得极小值.正确的有BC.答案BC11.(2020福建连城第一中学高二期中)已知函数f(x)=x2+x-1ex,则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当-ek0时,-1x2,当f(x)0时,x2.所以(-,-1),(2,+)是函数的单调递减区间,(-
7、1,2)是函数的单调递增区间,所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B正确.当x+时,f(x)0,根据B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-ek0,lnx0,解得x0且x1,所以函数f(x)=exlnx的定义域为(0,1)(1,+),所以A不正确;由f(x)=exlnx,当x(0,1)时,lnx0,f(x)0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=lnx-1x,则g(x)=1x+1x2(x0),所以g(x)0,函数g(x)单调递增,则函数f(x)=0只有一个根x0,使得f(x0)=0,当x(0,x0)时,f(x)
8、0),所以g(x)0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-10,所以函数f(x)在(1,2)先减后增,没有最大值,所以E不正确,故选BC.答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020武威第六中学高二月考)已知函数f(x)=2cos x+3sin x,则f3的值为.解析依题意,得f(x)=-2sinx+3cosx,故f3=-2sin3+3cos3=-3+32=-32.答案-3214.(2020湖南长郡中学高三下学期第二次适应性考试)过曲线y=x3-3x2上一点(2,-4)作曲线的切线,则切线方程为.解析由题意可得y=3x2-6x.设该切线切点为(x0,y0),则切线斜
9、率为3x02-6x0,因此切线方程为y=(3x02-6x0)(x-x0)+y0=(3x02-6x0)(x-x0)+x03-3x02.又点(2,-4)在切线上,(3x02-6x0)(2-x0)+x03-3x02=-4,整理,得(2-x0)2(2x0-1)=0,解得x0=2或x0=12.代入切线方程,化简得y=-4或y=-94x+12,整理得,y=-4或9x+4y-2=0.答案9x+4y-2=0或y=-415.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,则该长方体的长、宽、高分别为时,其体积最大.解析设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=
10、92-3x,V=2xxh=2x292-3x=-6x3+9x2,由V=0,得x=1或x=0(舍去).x=1是函数V在(0,+)上唯一的极大值点,也是最大值点,故长、宽、高分别为2cm,1cm,32cm时,体积最大.答案2 cm,1 cm,32 cm16.(2020山东济南高二期中)若f(x)=mln x-x3+32x2-4x+4在(2,+)上单调递减,则实数m的取值范围为.解析f(x)=mlnx-x3+32x2-4x+4(x0),f(x)=mx-3x2+3x-4.由于f(x)在(2,+)上单调递减,即f(x)0在(2,+)上恒成立,即mx-3x2+3x-40在(2,+)上恒成立,则m3x3-3x
11、2+4x在(2,+)上恒成立,即mg(x)min在(2,+)上恒成立,设g(x)=3x3-3x2+4x(x2),g(x)=9x2-6x+4,知=36-4940,g(x)单调递增,mg(x)min=g(2)=323-322+42=20,m20,即实数m的取值范围为(-,20.答案(-,20四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2019湖北武汉高二期末)已知函数f(x)=x33+x2.(1)求f(x)的递减区间;(2)当x-1,1时,求f(x)的值域.解(1)由函数f(x)=x33+x2,得f(x)=x2+2x.由f(x)=x2+2
12、x0,解得x(-,-2)(0,+),即f(x)在-1,0上单调递减,在0,1上单调递增.所以f(0)f(x)maxf(-1),f(1),且f(0)=0,f(-1)=23,f(1)=43,故f(x)的值域为0,43.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.解(1)f(x)=6x2-6(a+1)x+6a.f(x)在x=3处取得极值,f(3)=69-6(a+1)3+6a=0,解得a=3.f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在
13、f(x)上,由(1),可知f(x)=6x2-24x+18,f(1)=6-24+18=0,切线方程为y=16.19.(本小题满分12分)(2020广州育才中学高二月考)已知函数f(x)=x2-2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x2时,f(x)3x-4.解(1)依题意,知函数的定义域为x|x0,f(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,由f(x)0,得x1;由f(x)0,得0x2时,g(x)0,g(x)在(2,+)上为增函数,g(x)g(2)=4-2ln2-6+40,当x2时,x2-2lnx3x-4,即当x2时,f(x)3x-4.20.(本小题满分12分)某村庄拟修建
14、一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m,高为h m,体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m2,底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh(元),底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.又根据题意200rh+160r2=12000,所以h=15r(300-4r2),从而V(r)=r
15、2h=5(300r-4r3).因为r0,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,53)时,V(r)0,故V(r)在(5,53)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.21.(本小题满分12分)(2020四川成都高三三模)已知函数f(x)=x-1+axln x(aR).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)函数g(x)=m(x+1)+f(x),当00,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+);当a0时,由f(x)0得xe-1a-1,所以函数f(x)的单调递增区间是e-1a-1,+);当a0得0x0,所以
16、m1-axlnx-xx+1,令h(x)=1-axlnx-xx+1,当x1时,因为0a1,所以-axlnx0,因此1-x-axlnx0,所以只需m0.当0x1时,因为00;当m=1时,p(x)=lnx+2,则p1e3=-3+2=-10,不满足题意;当m=0时,p(x)=lnx-1x+1,则p1e=-e0).(1)求函数f(x)的极值.(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在1,e上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.解(1)由题意,知x0,f(x)=ax-1x2(a0).由f(x)0,得ax-1x20,解得x1a,所以函数f(x)的单调递增区间为1a,+;由f(x)0,得a
17、x-1x20,解得0x1a,所以函数f(x)的单调递减区间为0,1a.所以当x=1a时,函数f(x)取得极小值为f1a=aln1a+a=a-alna,无极大值.(2)由(1),知函数f(x)的单调递减区间为0,1a,单调递增区间为1a,+.当01时,函数在1,e上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(1)=aln1+1=1,显然10,故不满足条件;当11ae,即1ea1时,函数f(x)在1,1a上为减函数,在1a,e上为增函数,故函数f(x)的最小值为f1a=aln1a+a=a-alna=a(1-lna),由a(1-lna)=0,解得a=e或a=0(舍去),而1ea1,故a=e不满足条件;当1ae,即0a1e时,函数f(x)在1,e上为减函数,故函数f(x)的最小值为f(e)=alne+1e=a+1e,由a+1e=0,解得a=-1e,而0a1e,故不满足条件.综上所述,这样的a不存在.