1、福建省漳州市诏安县桥东中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）若命题“pq”为真，“p”为真，则（）Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真2（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数3（5分）命题“若ab，则a8b8”的逆否命题是（）A若ab，则a8b8B若a8b8，则abC若ab，则a8b8D若a8b8，则ab4（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB=”
2、的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010”C命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D若“pq”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题6（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A18B20C21D407（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3
3、，则（）Ap1=p2p3Bp2=p3p1Cp1=p3p2Dp1=p2=p38（5分）把十进制数11化为二进制数的结果是（）A1011（2）B1101（2）C1110（2）D1111（2）9（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 4
4、88 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A0.35B0.25C0.20D0.1510（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）11（5分）椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则F1PF2的面积为（）A8B9C10D1212（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）二、填空题（每小题5分，共30分）13（5分）根据辗转相除法可知，65与169的最大公约数
5、是14（5分）设样本数据x1，x2，xn的平均值为1，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，n），则y1，y2，yn的平均值等于15（5分）一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，下列四组事件：恰有一件次品和恰有两件次品； 至少有一件次品和全是次品；至少有一件正品和至少有一件次品；至少有一件次品和全是正品其中两个事件互斥的组是（填上序号）16（5分）已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=17（5分）已知椭圆+=1（ab0）的焦点分别是F1、F2，上顶点为B2，若F1 B2F2是等边三角形，则椭圆的离心率e=1
6、8（ 5分）如图，把椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=三、解答题（共60分）19（14分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求所取的2道题都是甲类题的概率20（14分）已知命题p：方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：xR，4x2+4（m2）x+10；（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若q为真，求实数m的取值范围；（3）若p或q为真，p且q为假，求实数m的
7、取值范围21（16分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数10，2）622，4）834，6）1746，8）2258，10）25610，12）12712，14）6814，16）2916，18）2合 计100（1）求频率分布直方图中的a，b的值；（2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率22（16分）已知椭圆C：x2+2y2=4（1）求椭圆C的离心率；（2）已知O为原点，点A（t，2）（tR），点B在椭圆C上，若OAOB，求线段AB长度的最小值福建省漳州市诏安县桥东
8、中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）若命题“pq”为真，“p”为真，则（）Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真考点：复合命题的真假 专题：阅读型分析：本题考查的是复合命题的真假问题在解答时，可先结合条件“p或q”为真命题判断p、q的情况，根据p为真，由此即可获得p、q 的真假情况，得到答案解答：解：由题意可知：“pq”为真命题，p、q中至少有一个为真，p为真，p、q全为真时，p且q为真，即“p且q为真”此时成立；当p假、q真，故选D点评：本题考查的是复合命题的真假问题在解答的过程当中充分体现了命题中的或非关系
9、值得同学们体会反思属基础题2（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数考点：命题的否定 专题：综合题分析：根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论解答：解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D点评：本题考查的知识
10、点是命题的否定，做为新高考的新增内容，全称命题和特称命题的否定是考查的热点3（5分）命题“若ab，则a8b8”的逆否命题是（）A若ab，则a8b8B若a8b8，则abC若ab，则a8b8D若a8b8，则ab考点：四种命题间的逆否关系 专题：规律型分析：根据逆否命题的定义确定命题的逆否命题解答：解：根据逆否命题和原命题之间的关系可得命题“若ab，则a8b8”的逆否命题是：若a8b8，则ab故选D点评：本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系，要求熟练掌握四种命题之间的关系比较基础4（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB=”的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分
11、的条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用 专题：集合；简易逻辑分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果解答：解：由题意AC，则UCUA，当BUC，可得“AB=”；若“AB=”能推出存在集合C使得AC，BUC，U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB=”的充分必要的条件故选：C点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题5（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010”C命题“若x=y
12、，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D若“pq”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题考点：复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定 专题：简易逻辑分析：通过复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，逐项进行判断解答：解：对于A：否命题为“若x21，则x1”，故A错误；对于B：否定是“x00，x02+x010”，故B错误；对于C：逆否命题为：若“sin xsin y，则xy”，是真命题，故C错误；A，B，C，都错误，故D正确，故选：D点评：本题考查了复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，是一道基础题6（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）
13、A18B20C21D40考点：循环结构 专题：计算题；算法和程序框图分析：算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+n的值，计算满足条件的S值，可得答案解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+n的值，S=21+22+1+2=2+4+1+2=915，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015输出S=20故选：B点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键7（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2
14、，p3，则（）Ap1=p2p3Bp2=p3p1Cp1=p3p2Dp1=p2=p3考点：等可能事件的概率 分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3，故选：D点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础8（5分）把十进制数11化为二进制数的结果是（）A1011（2）B1101（2）C1110（2）D1111（2）考点：进位制 专题：计算题分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序
15、排列即可得到答案解答：解：112=5152=2122=1012=01故11（10）=1011（2）故选：A点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键9（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 3
16、93 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A0.35B0.25C0.20D0.15考点：模拟方法估计概率 专题：计算题分析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果解答：解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393共5组随机数，所求概率为=0.25故选B点评：本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题
17、目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用10（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）考点：椭圆的定义 专题：计算题分析：先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围解答：解：方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆故0k1故选D点评：本题主要考查了椭圆的定义，属基础题11（5分）椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则F1PF2的面积为（）A8B9C10D12考点：椭圆的应用 专题：计算题分析：先设出|PF1|=m，|PF2|=n，
18、利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出F1PF2的面积解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，m2+n2+2nm=4a2，m2+n2=4a22nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则F1PF2的面积为9故选B点评：本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义考查了考生对所学知识的综合运用12（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）考点：椭圆的应用 专题：计算题分析：由=0
19、知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围解答：解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：C点评：本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答二、填空题（每小题5分，共30分）13（5分）根据辗转相除法可知，65与169的最大公约数是13考点：用辗转相除计算最大公约数 专题：算法和程序框图分析：本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将6
20、5与169代入易得到答案解答：解：169=265+39；65=139+26，39=126+13，26=213故65与169的最大公约数是13，故答案为：13点评：对任意整数a，b，b0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0rb，这个事实称为带余除法定理，若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数当d0时，d是a，b公因数中最大者若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法14（5分）设样本数据x1，x2，xn的平均值为1，若yi=xi+a（a为非
21、零常数，i=1，2，n），则y1，y2，yn的平均值等于1+a考点：众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：由已知条件得y1，y2，yn的平均值=（x1+x2+xn）+a=1+a解答：解：样本数据x1，x2，xn的平均值为1，yi=xi+a，y1，y2，yn的平均值为：=（x1+x2+xn）+a=1+a故答案为：1+a点评：本题考查平均值的求法，是基础题，解题时要认真审题15（5分）一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，下列四组事件：恰有一件次品和恰有两件次品； 至少有一件次品和全是次品；至少有一件正品和至少有一件次品；至少有一件次品和全是正品其中两个事件互斥的组是（填上序号）考点
22、：互斥事件与对立事件 专题：概率与统计分析：由题意知恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，这两种说法里所包含的事件是不能同时发生的解答：解：从一箱产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，是互斥事件，故答案为：点评：本题考查互斥事件和对立事件，互斥事件是不能同时发生的事件，分析是否是互斥事件时，要观察清楚所叙述的事件中包含什么事件，列出来再进行比较16（5分）已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=
23、8考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义 专题：计算题分析：由椭圆的定义得，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=20，由此可求出|AB|的长解答：解：由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，即|AB|+12=20，|AB|=8故答案：8点评：本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用17（5分）已知椭圆+=1（ab0）的焦点分别是F1、F2，上顶点为B2，若F1 B2F2是等边三角形，则椭圆的离心率e=考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的性质得出|F1F2|=2c，|B2F1|=a，利用F1B2F2为等边三角形，求出椭圆的离心
24、率e解答：解：根据题意，画出图形，如图所示；在椭圆+=1（ab0）中，|F1F2|=2c，|B2F1|=a，且F1B2F2为等边三角形，|B2F1|=|F1F2|=2c，椭圆的离心率为e=故答案为：点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答，是基础题18（5分）如图，把椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=35考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析
25、：根据椭圆的定义与椭圆的对称性，证出|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a，结合|P4F|=a和题中的数据，可得答案解答：解：将椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为F，根据椭圆的对称性，得|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F|=2a=10同理可得：|P2F|+|P6F|=2a=10且|P3F|+|P5F|=2a=10又|P4F|=a=5|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=3
26、5，故答案为：35点评：本题着重考查了椭圆的标准方程、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题巧妙运用椭圆的对称性，是解决本题的关键所在三、解答题（共60分）19（14分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求所取的2道题都是甲类题的概率考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5.6，任取2道题，写出所有的基本事件，用A表示“都是甲类题”这一事件，找出A包含的基本事件，即可求解概率解答：（本小题满分14分）解：将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5.6，任取2道题，基本
27、事件为：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，2，5，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的（8分）用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有：1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共6个，（10分）所以 P（A）=（12分）答：所取的2道题都是甲类题的概率为（14分）点评：本题考查古典概型的概率的求法，基本知识的考查20（14分）已知命题p：方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：xR，4x2+4（m2）x+10；（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若q为真，求实数m的取值范围；（
28、3）若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：（1）通过p为真，利用判别式即可求实数m的取值范围；（2）通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围；（3）通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围解答：（本小题满分14分）解：（1）方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根，所以1=m 240，（2分）m2或m2，（3分）若p为真，实数m的取值范围是（，2）（2，+）（4分）（2）因为不等式4x 2+4（m2）x+10的解集为R，所以2=16（m2）2160，（6分）1m3，（7分）若
29、q为真，实数m的取值范围是（1，3）（8分）（3）因为p或q为真，p且q为假，所以p与q为一真一假，（9分）（i）当p为真q为假时，m2或m3（10分）（ii）当p为假q为真时，1m2 （12分）综上所述得：m的取值范围是m2或1m2或m3（14分）点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力21（16分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数10，2）622，4）834，6）1746，8）2258，10）25610，12）12712，14）6814，16）2916，1
30、8）2合 计100（1）求频率分布直方图中的a，b的值；（2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：（1）从频率分布直方图中读出数据，a、b=；（2）由古典概型概率公式求解解答：解：（1）课外阅读时间落在组4，6）的有17人，频率为0.17，a=0.085课外阅读时间落在组8，10）的有25人，频率为0.25，b=0.125（2）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1=0.9从该校随机选
31、取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9点评：本题考查了频率分布直方图与古典概型，属于基础题22（16分）已知椭圆C：x2+2y2=4（1）求椭圆C的离心率；（2）已知O为原点，点A（t，2）（tR），点B在椭圆C上，若OAOB，求线段AB长度的最小值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的方程化为标准方程，求出几何量a、b、c即可求椭圆C的离心率；（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x00，通过OAOB，推出t=，然后求出|AB|的表达式利用基本不等式即可求解线段AB长度的最小值解答：（本小题满
32、分16分）解：（1）由题意，椭圆C的标准方程为+=1（2分）所以a2=4，b2=2，从而c2=a2b2=2（3分）因此a=2，c=（4分）故椭圆C的离心率e=（6分）（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x00（8分）因为OAOB，所以tx0+2y0=0解得t=（10分）又x02+2y02=4，y02=（12分）所以|AB|2=（x0t）2+（y02）2=（x0+）2+（y02）2=x02+y02+4=x02+4=+4（0x024）（14分）因为0x024，所以+4，当且仅当x02=4时等号成立，所以|AB|28故线段AB长度的最小值为2（16分）点评：本题考查椭圆方程的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题