1、难点题型拔高练(二)1已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且ABACAD2，BCBD4，CD8.若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为()A1B2C4 D8解析：选D由题意，得BC2BD2CD2，所以BCBD，所以BCD为等腰直角三角形如图，设CD的中点为O，则O为BCD的外心，且外接圆半径r4.连接AO，BO，因为ACAD2，所以AOCD，AO2，又BO4，所以AO2BO2AB2，所以AOBO，所以AO平面BCD，所以球心O1在直线AO上设球O1的半径为R，则有r2OOR2，即16(R2)2R2，解得R5.当球O2直径最大时，球O2与平面BCD相切，且与球
2、O1内切，此时A，O，O1，O2四点共线，所以球O2直径的最大值为ROO18.2已知函数f(x)(xa)33xa(a0)在1，b上的值域为22a,0，则b的取值范围是()A0,3 B0,2C2,3 D(1,3解析：选A由题意，得f(x)3(xa)233(xa1)(xa1)由f(x)0，得xa1或xa1，所以当a1xa1时，f(x)0，当xa1时，f(x)0，所以函数f(x)在(a1，a1)上单调递减，在(，a1)，(a1，)上单调递增又f(a1)2a2，f(a1)2a2.若f(1)2a2，即(1a)33a2a2，则a1，此时f(x)(x1)33x1，且f(x)4时，x1或x2；由f(x)0，解
3、得x0或x3.因为函数f(x)在1，b上的值域为4,0，所以0b3.若f(1)2a2，因为a0，所以a11，要使函数f(x)在1，b上的值域为22a,0，需a1b，此时a11，b，所以即无解综上所述，b的取值范围是0,33在平面四边形ABCD中，AB1，AC，BDBC，BD2BC，则AD的最小值为_解析：设BAC，ABD(0，)，则ABC.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 62cos ，由正弦定理，得，即BC.在ABD中，由余弦定理，得AD2AB2DB22ABDBcos 14BC24BCcos 14(62cos )4cos 258cos 4sin 2520sin()
4、（其中sin ，cos ），所以当sin()1，即sin ，cos 时，AD2取得最小值5，所以AD的最小值为.答案：4椭圆E：1(ab0)的右顶点为A，右焦点为F，上、下顶点分别是B，C，|AB|，直线CF交线段AB于点D，且|BD|2|DA|.(1)求E的标准方程；(2)是否存在直线l，使得l交椭圆于M，N两点，且F恰是BMN的垂心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由解：(1)法一：由题意知F(c,0)，A(a,0)，B(0，b)，C(0，b)，所以直线AB的方程为1，直线CF的方程为1，由得，xD.因为|BD|2|DA|，所以2，所以| |，得a，解得a2c，所以bc.因为|AB|，
5、即，所以c，所以c1，a2，b，所以椭圆E的标准方程为1.法二：如图，设椭圆E的左焦点为G，连接BG，由椭圆的对称性得BGCF，则2，即|GF|2|FA|，由题意知F(c,0)，则|GF|2c，|FA|ac，所以2c2(ac)，得a2c，所以bc.因为|AB|，即，即c，所以c1，a2，b，所以椭圆E的标准方程为1.(2)假设存在直线l，使得F是BMN的垂心，连接BF，并延长，连接MF，并延长，如图，则BFMN，MFBN.由(1)知，B(0，)，F(1,0)，所以直线BF的斜率kBF，易知l的斜率存在，设为k，则kBFk1，所以k，设l的方程为yxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去
6、y得13x28mx12(m23)0，由(8m)241312(m23)0得，m.x1x2，x1x2.因为MFBN，所以0，因为(1x1，y1)，(x2，y2)，所以(1x1)x2y1(y2)0，即(1x1)x20，整理得(x1x2)x1x2m2m0，所以m2m0，整理得21m25m480，解得m或m.当m时，M或N与B重合，不符合题意，舍去；当m时，满足m.所以存在直线l，使得F是BMN的垂心，l的方程为yx.5已知函数f(x)(ax22ax1)ex2.(1)讨论f(x)的单调区间；(2)若a，求证：当x0时，f(x)0，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，(4a)24a(2
7、a1)4a(2a1)，()当a时，0，令u(x)0，得x1，x2，且x10，f(x)0，当x(x1，x2)时，u(x)0，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为， ，单调递减区间为.()当0a时，0，所以u(x)0，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)当a0，令u(x)0，得x1，x2，且x20，f(x)0，当x(，x2)(x1，)时，u(x)0，f(x)时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当0a时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为， .(2)证明：f(x)(ax22ax1)ex2aex(x22x)ex2，令(a)aex(x22x)ex2，显然当x0时，ex(x22x)0，所以当a时，(a)ex2.所以要证当x0时，f(x)0，只需证当x0时，ex20，即证当x0时，ex(x22x7)140.令g(x)ex(x22x7)14，则g(x)ex(x24x5)(x1)(x5)ex，所以当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，所以当x0时，g(x)g(1)144e0，从而当x0时，f(x)0.