1、2016-2017学年福建省漳州市第二片区高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1已知集合A= x|1，集合B= x|log2x1，则 AB=（）A（，2）B（0，1）C（0，2）D（1，2）2已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知sin=，则cos（2）=（）ABCD4已知函数f （x）=lg，则f =（）A0B2C20D40345若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）ABC2D66设0，
2、函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）ABCD37如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形那么这五个正三角形的面积之和等于（）A2B C D 8已知a0，则“ax0=b”的充要条件是（）AxR， ax2bxax02bx0BxR， ax2bxax02bx0CxR， ax2bxax02bx0DxR， ax2bxax02bx09设F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）ABC
3、D210已知直线l：y=k（x1）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，过AB分别作直线x=1的垂线，垂足分别是M、N那么以线段MN为直径的圆与直线l的位置关系是（）A相交B相切C相离D以上都有可能11已知函数f（x）=x3+2x1（x0）与g（x）=x3log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围为（）A（，2）B（0，）C（，2）D（0，2）12函数f（x）=（x23）ex，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）mf（x）=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A3B1或3C3或5D1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答
4、案填在题中横线上.13设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则=14如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是15四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于16四边形ABCD中，BAC=90，BD+CD=2，则它的面积最大值等于三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和Sn，满足Sn=n23n（I）求数列an的通项公式an；（II）设bn=，数列bn的前n项和Tn（nN*），当Tn时，求n的最小值18在ABC中，角A，B，C所对的边
5、分别为a，b，c，且asinA=（bc）sinB+（cb）sinC（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长19如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM（）求证：ADBM（）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为20已知椭圆M： +=1（ab0）的一个焦点为F（1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）（I）求椭圆M的方程；（II）记ABC与ABD的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值，并求此时l的方程
6、21设函数f （x）=exx2x1，函数f（x）为f （x）的导函数（I）求函数f（x）的单调区间和极值；（II）已知函数y=g （x）的图象与函数y=f （x）的图象关于原点对称，证明：当x0时，f （x）g （x）；（）如果x1x2，且f （x1）+f （x2）=0，证明：x1+x20请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半
7、轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x|+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若f（2）5，求m的取值范围2016-2017学年福建省漳州市第二片区高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1已知集合A= x|1，集合B= x|log2x1，则 AB=（）A（，2）B（0，1）C（0，2）D（1，2）【考点】交集及其运
8、算【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出AB【解答】解：集合A= x|1=x|1x2，集合B= x|log2x1=x|0x2，AB=x|1x2=（1，2）故选：D2已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果【解答】解： =，故它所表示复平面内的点是（）在复平面内对应的点，在第一象限故选A3已知sin=，则cos（2）=（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（2）的值
9、【解答】解：sin=，则cos（2）=cos2=（12sin2）=2sin21=，故选：B4已知函数f （x）=lg，则f =（）A0B2C20D4034【考点】对数的运算性质【分析】利用对数的运算性质可得f（x）+f（x）=2，即可得出【解答】解：f（x）+f（x）=lg+=2，f =2故选：B5若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）ABC2D6【考点】由三视图求面积、体积【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C6设0，函数的图象向左平
10、移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）ABCD3【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到的最小值【解答】解：图象向左平移个单位后与原图象重合是一个周期3 所以最小是3故选D7如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形那么这五个正三角形的面积之和等于（）A2B C D 【考点】等比数列的前n项和【分析】此五个正三角形的边长an形成等比数列：2，1，再利用等比数列的求和公式即可得出这五个正三角形的面积之和【解答】解：此五个正三角形
11、的边长an形成等比数列：2，1，这五个正三角形的面积之和=故选：D8已知a0，则“ax0=b”的充要条件是（）AxR， ax2bxax02bx0BxR， ax2bxax02bx0CxR， ax2bxax02bx0DxR， ax2bxax02bx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】a0，令f（x）=ax2bx，利用导数可得：x=函数f（x）的极大值点即最大值点，即可判断出结论【解答】解：a0，令f（x）=ax2bx，则f（x）=axb，令f（x）=0，解得x=x=函数f（x）的极大值点即最大值点，xR， ax2bxax02bx0，a0，则“ax0=b”的充要条件是：xR， ax2
12、bxax02bx0，故选：C9设F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，由勾股定理可知|PF1|=4b，根据双曲定义可知4b2
13、c=2a，整理得c=2ba，代入c2=a2+b2整理得3b24ab=0，求得=，即b=a，则c=a，即有e=故选：A10已知直线l：y=k（x1）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，过AB分别作直线x=1的垂线，垂足分别是M、N那么以线段MN为直径的圆与直线l的位置关系是（）A相交B相切C相离D以上都有可能【考点】抛物线的简单性质【分析】先由抛物线定义可知AM=AF，可推断1=2；又根据AMx轴，可知1=3，进而可得2=3，同理可求得4=6，最后根据MFN=3+6，则答案可得【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF，故1=2，又AMx轴，1=3，从而2=3，同理可证得4=6，而2+3+
14、4+6=180，MFN=3+6=180=90，以线段MN为直径的圆与直线l的位置关系是相切，故选B11已知函数f（x）=x3+2x1（x0）与g（x）=x3log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围为（）A（，2）B（0，）C（，2）D（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可【解答】解：函数f（x）=x3+2x1（x0）与g（x）=x3log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x1（x0）上的一点为（m，n），m0，可得n=m
15、3+2m1，则（m，n）在g（x）=x3log2（x+a）+1的图象上，n=m3log2（m+a）+1，可得2m=log2（m+a），即（m0）有解，即，t0有解作出y=，与y=log2（t+a），t0的图象，如图：只需log2a1即可解得a（0，2）故选：D12函数f（x）=（x23）ex，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）mf（x）=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A3B1或3C3或5D1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2mt=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根
16、，结合图象可得原方程实根的个数【解答】解：函数f（x）=（x23）ex的导数为f（x）=（x+3）（x1）ex，当x1或x3时，f（x）0，f（x）递增；当3x1时，f（x）0，f（x）递减即有f（x）在x=1处取得极小值2e；在x=3处取得极大值6e3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）mf（x）=0，由判别式为m2+0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2mt=0，t1t2=0，则原方程有一正一负实根当t6e3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0t6e3，y=t和y=f（x）有三个交点，当2et0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t2e时，y=t和y=f（x）
17、没有交点，则x的方程f2（x）mf（x）=0的实根个数为3故选：A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上.13设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则=2【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是RtABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值【解答】解：以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形M是线段BC的中点，AM是RtABC斜边BC上的中线，可得=，得2=16，即=4=2故答案为：214如果不等式
18、组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是3，0【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y0）在函数y=2x+a的图象上，可得a0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=3，实数a的取值范围是：3，0故答案为：3，015四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32【考点】球的体积和表面积【分析】如图，取BC、AD中点
19、分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体ABCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，AB=AC=DB=DC=2，AEBC，DEBC，AE=DE，EFAD，取EF中点O，OF=，AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体ABCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4R2=32，故答案为：3216四边形ABCD中，BAC=90，BD+CD=2，则它的面积最大值等于【考点】三角形中的几何计算【分析】由题意，当D在BC的正上方时SDBC面积最大，A为BC的正下方时SABC面积最
20、大，设BC为2x，可求DH=，S四边形ABCD=x2+x，设x=sin，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S四边形= 1+sin（2），利用正弦函数的性质即可求得S四边形的最大值【解答】解：BAC=90，BD+CD=2，D在以BC为焦点的椭圆上运动，A在以BC为直径的圆上运动，当D在BC的正上方时SDBC面积最大，A为BC的正下方时SABC面积最大，此时，设BC为2x，则DH=，S四边形ABCD=SBCD+SABC=x+=x2+x，设x=sin，则=cos，S四边形=sin2+sincos=（2sin2+2sincos）=（1cos2+sin2）= 1+sin（2），当sin（2）=1时，即
21、=时，S四边形取得最大值，最大值为：故答案为：三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和Sn，满足Sn=n23n（I）求数列an的通项公式an；（II）设bn=，数列bn的前n项和Tn（nN*），当Tn时，求n的最小值【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用公式an=SnSn1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可【解答】解：（I）Sn=n23n当n=1时，S1=1231=2，即 a1=2，当n2时，Sn1=（n1）23（n1）=n25n+4an=SnSn1=2n4，
22、显然，n=1时，2n4=2=a1也满足上式，数列an的通项公式an=2n4（II）bn=，Tn=（1）+（）+（）=1=令得 n2016，nN*，故n的最小值为201718在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（bc）sinB+（cb）sinC（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（bc）b+（cb）c，化简可得2bc=（b2+c2a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值（）ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，AB
23、D中，由余弦定理求得BD的值【解答】解：（I），由正弦定理可得： a2=（bc）b+（cb）c，即2bc=（b2+c2a2），由余弦定理可得：cosA=，A（0，），A=（）由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，得b=AC=2ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC22ABACcosA，即10=AB2+42AB2，求得AB=32ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD22ABADcosA=18+16=13，BD=19如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM（）求证：ADBM（）若点E是线段DB上的一动点，
24、问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）根据线面垂直的性质证明BM平面ADM即可证明ADBM（）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可【解答】（1）证明：长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，AM=BM=2，BMAM平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCMBM平面ADMAD平面ADMADBM； （2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1，2，1），=（2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（
25、x，y，z），则， 取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），cos，=，求得，故E为BD的中点20已知椭圆M： +=1（ab0）的一个焦点为F（1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）（I）求椭圆M的方程；（II）记ABC与ABD的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值，并求此时l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（）当直线l不存在斜率时可得，|S1S2|=0；当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x
26、的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=a=2，b2=a2c2=3椭圆M的方程为（II）设直线l的方程为x=my1，C（x1，y2），D（x2，y2），联立方程组，消去x得，（3m2+4）y26my9=0y1+y2=，y1y2=0S1=SABC=|AB|y1|，S2=SABD=|AB|y2|，且y1，y2异号|S1S2|=|AB|y1+y2|=4|y1+y2|=3|m|+4，当且仅当3|m|=，即m=时，等号成立|S1S
27、2|的最大值为=此时l的方程为x2y+=021设函数f （x）=exx2x1，函数f（x）为f （x）的导函数（I）求函数f（x）的单调区间和极值；（II）已知函数y=g （x）的图象与函数y=f （x）的图象关于原点对称，证明：当x0时，f （x）g （x）；（）如果x1x2，且f （x1）+f （x2）=0，证明：x1+x20【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（）令F （x）=f （x）g （x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F（x）F（0），证出结论即可；（）要证x1+x2
28、0，即证x1x2，根据函数的单调性只需证f （x2）=f （x1）f （x2），即f （x2）+f （x2）0，结合（）得出结论【解答】解：（I）f（x）=exx1，f（x）=ex1当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0f（x）在（，0）上单调递减；在（0，+）上单调递增当x=0时，f（0）=0为f（x）极小值，无极大值（II）证明：由题意g （x）=f （x）=ex+x2x+1，令F （x）=f （x）g （x）=f （x）+f （x）=ex+exx22（x0），F（x）=exex2x，F（x）=ex+ex20因此，F（x）在0，+）上单调递增，从而有F（x）F（0）=0；因此，F （x
29、）在0，+）上单调递增，当x0时，有F （x）F （0）=0，即f （x）g （x）（III）证明：由（I）知，f（x）0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0因为x1x2，不妨设x1x2，于是有x10，x20，要证x1+x20，即证x1x2因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证f （x2）=f （x1）f （x2），即f （x2）+f （x2）0因为x20，由（II）知上不等式成立，从而x1+x20成立请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-4
30、：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（I）由圆的极坐标方程=2sin，可得2=2sin，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值【解答】解：（I）由圆的极坐标方程=
31、2sin，可得2=2sin，qx2+y2=2y，圆C的直角坐标方程为，x2+y22y=0（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程则t1，t2是下面方程的根（3+t）2+（+t）22（+t）=0整理得，t2+3t+4=0所以，t1+t2=3，t1t2=4（t1，t2同号）直线l过P（3，）根据t的几何意义可知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x|+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若f（2）5，求m的取值范围【考点】带绝对值的函数【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论（2）若f（2）5，即|2|+|2+m|5，即有|2|3m，即23m或2m3转化为二次不等式，解出即可，注意m0【解答】（1）证明：f（x）=|x|+|x+m|（x）（x+m）|=|m|=+m（m0）又m0，则+m4，当且仅当m=2取最小值4f（x）4；（2）解：若f（2）5，即|2|+|2+m|5，即有|2|3m，即23m或2m3由于m0，则m2m40或m25m+40，解得m或m4或0m1故m的取值范围是（，+）（0，1）2017年4月21日