1、数论初步(一)主讲老师：李晓均整数的整除性定义：设a，b为二整数，且b，如果有一整数c，使abc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b|a.显然，能整除任意整数，任意整数都能整除.性质：设a，b，c均为非零整数，则若c|b，b|a，则c|a.若b|a，则bc|ac若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|manb若b|ac，且(a，b)1，则b|c证明：因为(a，b)1则存在两个整数s，t，使得 asbt1 ascbtcc b|ac b|asc b|(ascbtc) b|c若(a，b)1，且a|c，b|c，则ab|c证明：a|c，则cas(sZ)又b|c，则cbt(tZ)又(
2、a，b)1 sbt(tZ)于是cabt即ab|c若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c(ab)|(anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n为奇数)整除的判别法：设整数N.2|a12|N ， 5|a1 5|N.3|a1a2an 3|N 9|a1a2an 9|N.4|4|N 25| 25|N.8|8|N 125|125|N7|7|N11|11|N11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 11|N13|13|N推论：三个连续的整数的积能被整除.例题：1.设一个五位数，其中db3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除.解：11| 11|acdba即11|c3 c81a9，且a
3、Z2.设72|，试求a，b的值.解：7289，且(8，9)1 8|，且9| 8| b6且 9|a6736即9|22a a53.设n为自然数，A3237n632n855n235n，求证:1985|A.证明：19853975A(3237n632n)(855n235n) (3237632)u(855235)v(u，vZ) 5521u5124v5|A又A(3237n855n)(623n235n) (3237855)s(623235)t(s，tZ)3976s397t 397A又(397,5)13975A即1985A4.证明：没有x，y存在，使等式x2y21995(x，yZ)成立.证：假设有整数x，y存在
4、，使x2y21995成立。x2，y2被除余数为或.x2y2被除余数为，或. 又1995被除余数为.得出矛盾，假设不成立.故没有整数x，y存在，使x2y21995成立.费马小定理：若p是素数，(m，p)1则 p|mp115.试证：9999能被13整除.12个证明：1019,100199,101219999. 12个又（10,13）=1 13(101311),即13(10121) 13 9999. 12个6.请确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.解：设该数为A，其中a16令x则Ax106于是4A610n1x即有410x24610n1x x (2
5、，13)1，x是整数 13|(10n14)n1，2时，10n1410显然不满足条件n3时，10n1496 不满足条件n4时，10n14996 不满足条件n5时，10n149996不满足条件n6时，10n1499996 满足条件 x15384即A1538467.一个正整数，如果用进制表示为，如果用进制表示为，请用10进制表示这个数.解：由题意知：0a,c4,0b4,设这个正整数为n,则na72b7c, n=c52b5a 49a7bc25c5ba 48a2b24c0 b12(c2a) 12b,又0b4b0, c2a 当a1,c2时，n51 当a2,c4时，n102练习：1.证明：设N1988198819861986，则1987N2.设n是自然数，求证n5n可被30整除.3.请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍.4.一个正整数，若用9进制表示为，若用7进制表示为，请用10进制表示此数.5.五位数能被4整除，最末两位组成的数能被6整除，求此五位数.相关网址：