1、奎屯市第一高级中学高二年级第二次月考理科数学一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合、，根据交集的定义写出【详解】解： 集合,1,，则,1故选：【点睛】本题考查了不等式的解法与交集的定义,是基础题 2.在复平面内,复数对应的点的坐标为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算求得，根据复数几何意义可得结果.【详解】 对应点的坐标为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数的几何意义、复数的运算，属于基础题.3.已知函数,则的值为A. 1B
2、. 2C. 3D. 3【答案】A【解析】【分析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可.【详解】由函数解析式可得：，本题正确选项：【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题.4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体,它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成,其直观图如图(其中四边形是为体现直观性而作的辅助线)当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时,其俯视图可能为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案
3、【详解】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点睛】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题5.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可【详解】由已知双曲线C（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，可得，故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时注意焦点位置，考查计算能力6.现有
4、甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本
5、事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.若实数满足且的最小值为3,则实数的值为A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数过点时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键8.在
6、正方体中,点是四边形的中心,关于直线,下列说法正确的是A. B. C. 平面D. 平面【答案】C【解析】【分析】对于A选项，连接，则，因为与相交，故选项错误；对于B，做平行线，与不垂直；对于C，做辅助线，通过平行四边形证明，进而得到线面平行；对于D，因为平面，故得到与平面不垂直.【详解】选项A，连接，则，因为与相交，所以A错；选项B，取中点，连接，则，在中，所以与不垂直，所以与不垂直，B错；选项C，设，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，C正确；选项D，连接，垂直于,垂直于,进而得到垂直于面，故垂直于，同理可证，垂直于，进而得到平面，所以与平面不垂直，D错故选：
7、C【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，异面直线的位置关系，题目较为综合.9.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义求得函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；利用时，的符号可排除，从而得到结果.【详解】由题意可得：定义域为：由得：为偶函数，图象关于轴对称，可排除当时， ，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是能够利用函数的奇偶性和特殊位置的符号来进行排除，属于常考题型.10.已知圆,直线,则A. 与相离B. 与相交C. 与相切D. 以上三个选项均有可能【答案】B【解析】【分析】首先求得恒过的定点，可判断出定点在圆
8、内，从而得到直线与圆相交.【详解】由方程可知，直线恒过定点：又为圆内部的点 与相交本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是确定直线恒过的定点，根据点在圆内得到结果.11.已知函数，且函数的最小正周期为，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据最小正周期可求得，根据可知关于对称，从而可得，根据的范围可得，进而得到解析式，代入求得结果.【详解】的最小正周期为 由可得：的一条对称轴为：，解得：， 本题正确选项：【点睛】本题考查根据正弦型函数的性质求解函数解析式和函数值的问题，关键是能够根据关系式确定函数的对称轴，从而利用整体对应的方式求得.12.若函数在区间上有两
9、个极值点,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.【详解】，可得,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，由可得在上递减，由可得在上递增，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上有两个极值点，实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的
10、应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若的展开式的所有二项式系数之和为32,则展开式中的常数项为_【答案】10【解析】分析】根据二项式系数和得，解得；写出二项展开式的通项公式，根据的幂指数等于零解得，代入通项公式可求得常数项.【详解】展开式的二项式系数和为：，解得：展开式的通项公式为：令得：常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理中常数项的求解问题，涉及到二项式系数和的性质、展开式通项公式的应用，
11、属于常考题型.14.某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为_【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男教师的总人数【详解】高中部女教师与高中部男教师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则男教师有9人，工会代表中高中部教师共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2：3，工会代表中初中部教师总人数为10，又初中部女教师与高中部男教师比例为7：3，工会代表中初中部男教师的总人数
12、为1030%=3； 工会代表中男教师的总人数为9+3=12，故答案12【点睛】本题考查对分层抽样的定义的理解，考查识图能力与分析数据的能力，考查学生的计算能力，比较基础15.已知正方形的边长为2，为平面内一点，则的最小值为_【答案】-4【解析】【分析】由正方形的边长为2，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，分别写出四点坐标，再设，由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，因为正方形的边长为2，所以可得，设，则，所以，因此，当且仅当时，取最小值.故答案为-4【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的坐标
13、运算即可，属于常考题型.16.已知点和抛物线，过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于两点若，则_【答案】或2【解析】【分析】首先得到抛物线标准方程和焦点坐标，假设直线方程，与抛物线方程联立，表示出韦达定理的形式，得到，；根据，由向量数量积运算可构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由已知可得抛物线标准方程为： 焦点坐标为：设直线的方程为：由得：设，则，又，即解得：或本题正确结果：或【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，关键是能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出向量数量积的各个构成部分，从而得到关于变量的方程.三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字
14、说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列是等差数列,首项，且是与的等比中项(1)求数列的通项公式；(2)设,求数列的前项和【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消求和法可得结果.【详解】（1）设数列an的公差为d，a1=1，且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项，可得（a3+1）2=（a2+1）（a4+2），即（2+2d）2=（2+d）（3+3d），解得d=2或d=-1，当d=-1时，a3+1=0，a3+1是a2+1与a4+2的等比中项矛盾，舍去d=2，a1=1数列an的通项公式为an=2n-1；（
15、2），前n项和Sn=1-+-+-=1-=【点睛】本题考查等差数列基本量的运算和等比中项的概念，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.18.的内角的对边分别为，已知（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：即： ，由得：（2），的周长为 由余弦定理可得：的面积：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到
16、两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.19.如图所示,在直三棱柱中,其中点为棱的中点,为棱上且位于点上方的动点(1)求证:平面；(2)若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）推导出tanBB1C=，tanPBC=，从而BB1C=PBC，PBB1C，推导出BB1A1B1，A1B1B1C1，从而A1B1平面BCC1B1，A1B1BP，由此能证明BP平面A1B1C（2）以BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BQ与平面A1B1C所成角的
17、正弦值【详解】（1）证明：在侧面中，因为，为棱上的中点，所以，所以，所以，在直三棱柱中，平面，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面，所以，因为，所以平面；（2）解：如图，以，为轴建立空间直角坐标系，则，为平面的一个法向量.设，则，设平面的法向量为，则，所以，因为平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，所以，所以，解得，或，由已知得，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.在全国第五个“扶贫日”到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行”的主
18、题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量镇有基层干部60人,镇有基层干部60人,镇有基层干部80人,每人都走访了若干贫困户,按照分层抽样,从三镇共选40名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,绘制成如图所示的频率分布直方图(1)求这40人中有多少人来自镇,并估计三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从三镇的所有基层干部中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为,求的分布列及数学期望【答案】（1）40人中有16人来自镇，28.5户（2）见解析【解析】【分析】（1）先
19、确定抽样比，再由镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知服从二项分布，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则镇应选取（人），所以这40人中有16人来自镇因为 ，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为显然可取0，1，2，3，且，则， ， 所以分布列为0123所以数学期望【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布
20、，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.21.已知椭圆及点,若直线与椭圆交于点,且(为坐标原点),椭圆的离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)若斜率为的直线交椭圆于不同的两点,求面积的最大值【答案】(1)；(2)1.【解析】(1)由椭圆的离心率为,得,所以.设点在第一象限,由椭圆的对称性可知,所以,因为点坐标为,所以点坐标为,代入椭圆的方程得,与联立,可得,所以椭圆的标准方程为.(2)设直线的方程为,由得.由题意得,整理得，所以或.设,则,所以=.又由题意得,到直线的距离.的面积当且仅当,即时取等号,且此时满足
21、,所以面积的最大值为1.22.已知函数(1)求函数的极值；(2)若是方程的两个不同的实数根,求证:【答案】（1）有极小值，无极大值.（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义区间上零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数极值，（2）先根据零点得，再代入化简不等式为，构造函数，其中.最后根据导数确定函数单调性，根据单调性证不等式.试题解析：（1）依题意， 故当时， ，当时， 故当时，函数有极小值，无极大值.（2）因为， 是方程的两个不同的实数根.两式相减得，解得要证： ，即证： ，即证： ，即证，不妨设，令.只需证.设，；令，上单调递减， ，在为减函数，.即在恒成立，原不等式成立，即.
