1、第二章单元综合检测(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是180归纳出所有三角形的内角和都是180；某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A. 仅B. C. D. 仅解析：合情推理包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征都具备此特征，是类比
2、推理，中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选C.答案：C2下列有关三段论推理“凡是自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是()A推理正确B推理形式错误C大前提错误D小前提错误解析：三段论中的大前提、小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确答案：A3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心故选C.答案：C4已知命题p1为真命题，命
3、题p2为假命题，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是()A. q1，q3B. q2，q3C. q1，q4D. q2，q4解析：由复合命题的真值表知，q1：p1p2为真，q2：p1p2为假，q3：(p1)p2为假，q4：p1(p2)为真，故真命题是q1，q4，故选C.答案：C5用反证法证明：若ab0，则2a2b的假设为()A. 2a2bD. 2a2b解析：易知“”的对立面为“”故选C.答案：C6已知数列an满足an1，a11，则可归纳出an的一个通项公式为()AanBanCanDan解析：由an1和a11得a2，a3，a4，a5.归纳上述结果
4、，得到猜想：an.答案：A7如下图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，第4次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔所坐的座位号为()A1B2C3D4解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而201045022，所以第2010次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，应选B.答案：B8已知x0，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()A. n2B.
5、 nnC. 2nD. 22n2解析：由x2，xx3，xx4，可推广为xn1，故ann.答案：B9用数学归纳法证明“42n13n1(nN*)能被13整除”的第二步中，当nk1时为了使用归纳假设，对42k13k2变形正确的是()A. 16(42k13k1)133k1B. 442k93kC. (42k13k1)1542k123k1D. 3(42k13k1)1342k1解析：当nk时，式子为42k13k1，则nk1时，式子为42k13k24242k133k116(42k13k1)133k1.故选A.答案：A10对于奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组有1个数1，第二组有2个数3,5，第三
6、组有3个数7,9,11，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是()ASnn2BSnn3CSnn4DSnn(n1)解析：当n1时，S11；当n2时，S2823；当n3时，S32733；归纳猜想Snn3，故选B.答案：B11古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数，又是正方形数的是()A289B1024C1225D1378解析：根据图形的规律可知，第n个三角形数为an，第n个正方形数为bnn2，由此可排除选
7、项D(1378不是平方数)，将选项A，B，C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知，符合题意的是选项C，故选C.答案：C12六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体如图(1)所示，在平行四边形ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在图(2)所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ACBDCADB等于()A2(AB2AD2AA)B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA)D4(AB2AD2)解析：如图，连A1C1，AC，则四边形AA1C1C是平行四边形，故A1C2AC2(AAAC2)连BD，B1D1，则四边形BB1D1D是平行四边形，BDDB2(BBBD2)又在AB
8、CD中，AC2BD22(AB2AD2)，AABB，ACBDCADB2(AAAC2)2(BBBD2)2(AC2BD2BBAA)22(AB2AD2)2AA4(AB2AD2AA)故选C.答案：C二、填空题13f(n)1(nN*)，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推测当n2时，有_解析：观测f(n)中n的规律为2k(k1,2，)不等式右侧分别为，k1,2，f(2n)(n2)答案：f(2n)(n2)14若符号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b，则a(b*c)用含有运算符号“*”和“”表示的另一种形式是_解析：a(b*c)a(ab)*(ac)答案：(ab)
9、*(ac)15观察下图：12343456745678910则第_行的各数之和等于20112.解析：观察知，图中的第n行的各数构成一个首项为n，公差为1，共(2n1)项的等差数列，其各项和为：Sn(2n1)n(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2.令(2n1)220112，得2n12011.n1006.答案：100616中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：(1)自反性；对于任意aA，都有aa；(2)对称性：对于a，bA，若ab，则有ba；(3)传递性：对于a，b，cA，若ab，bc，则有ac.则称“”是集合A的一个等价关系
10、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)请你再列出三个等价关系：_.答案：“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”(答案不唯一)三、解答题17(10分)观察右图，可以发现：13422，135932，13571642，135792552，由上述具体事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述如下：对于正整数，有前2个奇数的和等于2的平方；前3个奇数的和等于3的平方；前4个奇数的和等于4的平方；前5个奇数的和等于5的平方；由此猜想：前n(nN*)个连续奇数的和等于n的平方，即13(2n1)n2.18(12分)2012江苏高考已知各项均为正数的两个数列an和b
11、n满足：an1，nN*，bn1，nN*，且an是等比数列，求证：ana1，nN*.证明：an0，bn0，ab(anbn)2，10知q0，下面用反证法证明q1：若q1，则a1logq时，an1a1qn，与(*)矛盾；若0qa21，当nlogq时，an1a1qn成立证明：依题意得bn2(log2an1)2(log22n11)2n，则，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立(1)当n1时，左边，右边，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时不等式成立，即，那么，当nk1时，.即当nk1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任意的nN*都成立，即不等式成立22(12分)2014大纲全国卷函数f(x
12、)ln(x1)(a1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：an.解：(1)f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1a0，f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(0，)是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，f(x)在(1，)是增函数当a2时，若x(1,0)，则f(x)0，f(x)在(1,0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，f(x)在(a22a，)是增函数(2)由(1)知，当a2时，f(x)在(1，)是增函数当x(0，)时，f(x)f(0)0, 即ln(x1)(x0)又由(1)知，当a3时，f(x)在0,3)是减函数当x(0,3)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(0x3)下面用数学归纳法证明an.当n1时，由已知a11，由结论成立；设当nk时结论成立，即ln(1)，ak1ln(ak1)ln(1)，即当nk1时有ak1，结论成立根据、知对任何nN*结论都成立
