1、6.2平面向量在几何、物理中的应用举例课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)点P是ABC所在平面内一点,满足|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,则ABC的形状不可能是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析因为P是ABC所在平面内一点,且|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,所以|CB|-|(PB-PA)+(PC-PA)|=0,即|CB|=|AC+AB|,所以|AB-AC|=|AC+AB|,两边平方并化简得ACAB=0,所以ACAB,所以A=90,则ABC一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故不可能是钝角三角形,等边三角形.故选AD.答案AD2.在R
2、tABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是()A.|AC|2=ACABB.|BC|2=BABCC.|AB|2=ACCDD.|CD|2=(ACAB)(BABC)|AB|2解析ACAB=AC(AC+CB)=AC2+ACAB=AC2=|AC|2,A是正确的,同理B也正确.ACCD=|AC|CD|cosACD=|CD|2,故C不正确.又(ACAB)(BABC)|AB|=|AC|2|BC|2|AB|2=|AC|BC|AB|2=|CD|2.故D正确.答案C3.两个大小相等的共点力F1、F2,当它们的夹角为90时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120时,合力大小为()A.40 NB.102
3、NC.202 ND.402 N解析如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知|F|=2|F1|,|F|=20N,所以|F1|=|F2|=102N.当它们的夹角为120时,以F1,F2为邻边作平行四边形,此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=102N.答案B4.(2019天津高考模拟)已知点O是ABC内一点,满足OA+2OB=mOC,SAOBSABC=47,则实数m为()A.2B.-2C.4D.-4解析由OA+2OB=mOC,得13OA+23OB=m3OC.设m3OC=OD,则13OA+23OB=OD,所以A,B,D三点共线.如图所示.因为OC与OD反向共线,所
4、以|OD|CD|=mm-3,所以SAOBSABC=|OD|CD|=mm-3=47,解得m=-4.故选D.答案D5.(2019北京高考模拟)如图,在菱形ABCD中,B=3,AB=4.(1)若P为BC的中点,则PAPB=;(2)点P在线段BC上运动,则|PA+PB|的最小值为.解析(1)在菱形ABCD中,B=3,AB=4,P为BC的中点,所以BP=2,AP=23,所以AP2+BP2=AB2,即APBP,则PAPB=0.(2)点P在线段BC上运动,可设BP=x(0x4),M为AB中点,则|PA+PB|=2|PM|.在BPM中,|PM|2=22+x2-22x12=x2-2x+4=(x-1)2+3,当x
5、=1时,PM有最小值3,即|PA+PB|=2|PM|的最小值为23.答案(1)0(2)236.(2019山东东明第一中学高一期末)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(a+b)2=1.(1)求;(2)在ABC中,若AB=a,AC=b,求|BC|.解(1)因为(a+b)2=a2+b2+2ab=22+(3)2+2ab=1,所以ab=-3,所以cos=ab|a|b|=-323=-32,又夹角在0,上,所以=56.(2)因为BC=AC-AB=b-a,所以|BC|2=(b-a)2=b2+a2-2ba=(3)2+22-2(-3)=13,所以BC边的长度为|BC|=13.能力提升练1.已知作用在点A
6、的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)解析F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则OP=OA+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).答案A2.(2019山东高考模拟)已知在ABC中,|BC|=2,BABC=-2.点P为BC边上的动点,则PC(PA+PB+PC)的最小值为()A.2B.-34C.-2D.-2512解析以BC的中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,可得B(-1,0),C(
7、1,0),设P(a,0)(-1a1),A(x,y)(y0),由BABC=-2,可得(x+1,y)(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,则PC(PA+PB+PC)=(1-a,0)(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3(a-16)2-2512,当a=16时,PC(PA+PB+PC)的最小值为-2512.故选D.答案D3.某人从点O向正东方向走30 m到达点A,再向正北方向走303 m到达点B,则此人的位移的大小是 m,方向是东偏北.解析如图所示,此人的位移是OB=OA+AB,且OAAB,则|OB|=|OA|2+|AB|2=60
8、m,tanBOA=3.所以BOA=60.答案60604.(2020天津中学高三月考)如图所示,在ABC中,AB=AC=3,BAC=90,点D是BC的中点,且M点在ACD的内部(不含边界),若AM=13AB+mAC,则DMBM的取值范围是.解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为D为BC中点,AB=AC=3,所以D32,32.A(0,0),B(3,0),C(0,3),则AM=13AB+mAC=13(3,0)+m(0,3)=(1,3m),则M点的坐标为(1,3m).又因为M点在ACD的内部(不含边界),所以13m2,即13m23.则DMBM=-12,3m-32(-2,3m)=1+3m3m-32=9m
9、2-92m+1=9(m-14)2+716,因为13m23,所以DMBM12,2.答案12,25.如图,用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上,ACW=150,BCW=120.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)解设A,B处所受力分别为F1,F2,10kg的重力用F表示,则F1+F2+F=0.以重力作用点C为F1,F2的始点,作平行四边形CFWE,使CW为对角线,则CF=-F2,CE=-F1,CW=F.ECW=180-150=30,FCW=180-120=60,FCE=90,所以四边形CEWF为矩形.所以|CE|=|CW|cos30=53,|CF|=|CW|cos60=5.即A处所
10、受的力为53kg,B处受力为5kg.素养培优练(2020首都师范大学附属中学高一期末)延长正方形ABCD的边CD至E,使得DE=CD.若动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点,若=+,下列判断正确的是()A.满足+=2的点必为C的中点B.满足+=1的点有且只有一个C.+的最小值不存在D.+的最大值为3解析设正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,所以A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(-1,1),则AB=(1,0),AE=(-1,1),设AP=(a,b)(0a1,0b1),由=+,得(a,b)=(1,0)+(-1,1),(a,b)=(-,),所以a=-,b=.当P在线段AB上时,0a1,b=0,此时=0,=a,此时+=a,所以0+1;当P在线段BC上时,a=1,0b1,此时=b,=a+=1+b,即+=1+2b,所以1+3;当P在线段CD上时,0a1,b=1,此时=1,=a+=a+1,此时+=a+2,所以1+3;当P在线段DA上时,a=0,0b1,此时=b,=a+=b,此时+=2b,所以0+2.由以上讨论可知,当+=2时,P可为BC的中点,也可以是点D,所以A错;使+=1的点有两个,分别为点B与AD的中点,所以B错;当P运动到点A时,+有最小值0,故C错,当P运动到点C时,+有最大值3,所以D正确.故选D.答案D