1、圆周运动、万有引力及航天问题知识网络考点预测本专题包含两类问题或者说两大题型，无论是星体问题还是其他圆周运动的问题，往往都要运用牛顿运动定律和功能关系进行求解，但由于在高考中地位重要，因而单独作为一个专题进行总结、分类和强化训练航天与星体问题是近几年各地高考卷中的必考题型由于对这个小模块每年都考，各类题型都有，考得很细，所以历年高考试题往往与近期天文的新发现或航天的新成就、新事件结合，我们在平时学习的过程中应多思考这类天文新发现和航天新事件中可能用于命题的要素在高考卷中，关于航天及星体问题的大部分试题的解题思路明确，即向心力由万有引力提供，设问的难度不大，但也可能出现设问新颖、综合性强、难度大
2、的试题 要点归纳一、圆周运动1描述匀速圆周运动的相关物理量及其关系(1)物理量：线速度v、角速度、周期T、频率f、转速n、向心加速度a等等(2)关系：vr2rf，a2rr42f2r2匀速圆周运动的向心力(1)向心力的来源：向心力是由效果命名的力，它可以由重力、弹力、摩擦力等力来充当，也可以是由这些力的合力或它们的分力来提供，即任何力都可能提供向心力，向心力的作用是只改变线速度的方向，不改变线速度的大小(2)大小：F向mamm2rmr4m2f2r (牛顿第二定律)3圆周运动的临界问题分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体(如：绳、杆、轨道等)的力学特征着手(1)如图31所示，绳
3、系小球在竖直平面内做圆周运动及小球沿竖直圆轨道的内侧面做圆周运动过最高点的临界问题(小球只受重力、绳或轨道的弹力)图31由于小球运动到圆轨迹的最高点时，绳或轨道对小球的作用力只能向下，作用力最小为零，所以小球做完整的圆周运动在最高点应有一最小速度vmin当小球刚好能通过最高点时，有：mgm解得：vmin又由机械能守恒定律有：mv下2mv上2mg2R，可得v下所以，小球要能通过最高点，它在最高点时的速度v需要满足的条件是v当v 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力(2)如图32所示，轻质杆一端的小球绕杆的另一端做圆周运动及小球在竖直放置的圆环内做圆周运动过最高点的临界问题图32分析小球在最高点的
4、受力情况：小球受重力mg、杆或轨道对小球的力F小球在最高点的动力学方程为：mgFm由于小球运动到圆轨迹的最高点时，杆或轨道对小球的作用力可以向下，可以向上，也可以为零；以向下的方向为正方向，设小球在最高点时杆或轨道对它的作用力大小为F，方向向上，速度大小为v，则有：mgFm当v0时，Fmg，方向向上；当0v 时，F随v的增大而减小，方向向上；当v 时，F0；当v 时，F为负值，表示方向向下，且F随v的增大而增大4弯道问题(1)火车的弯道、公路的弯道都向内侧倾斜，若弯道半径为r，车辆通过速度为v0，则弯道的倾角应为：(2)飞机、鸟在空中盘旋时受力与火车以“v0”过弯道相同，故机翼、翅膀的倾角ar
5、ctan图33(3)骑自行车在水平路面上转弯时，向心力由静摩擦力提供，但车身的倾斜角仍为arctan二、航天与星体问题1天体运动的两个基本规律(1)万有引力提供向心力行星卫星模型：FGmmr2mr双星模型：Gm12r1m22(Lr1)其中，G6.671011 Nm2/kg22万有引力等于重力Gmg(物体在地球表面且忽略地球自转效应)；Gmg(在离地面高h处，忽略地球自转效应完全相等，g为该处的重力加速度)2人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系F万GF向3宇宙速度(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v7.9_km/s，是卫星发射的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度(2)第二宇
6、宙速度：v11.2 km/s(3)第三宇宙速度：v16.7 km/s注意：三个宇宙速度的大小都是取地球中心为参照系；以上数据是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同4关于地球同步卫星地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星，它相对于地球表面是静止的，广泛应用于通信领域，又叫做同步通信卫星其特点可概括为六个“一定”：(1)位置一定(必须位于地球赤道的上空)地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，而与某一纬线所在的平面重合，如图34所示同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F的作用，绕地轴做圆周运动，F的一个分力F1提供
7、向心力，而另一个分力F2将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F全部提供向心力)图34(2)周期(T)一定同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即T24 h(3)角速度()一定由公式知，地球同步卫星的角速度，因为T恒定，为常数，故也一定(4)向心加速度(a)的大小一定地球同步卫星的向心加速度为a，则由牛顿第二定律和万有引力定律得：Gma，a(5)距离地球表面的高度(h)一定由于万有引力提供向心力，则在一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性，而是唯一确定的根据Gm2(Rh)得：hRR36000 km(6)环绕速率(v)一定在
8、轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速率也一定，且为v3.08 km/s因此，所有同步卫星的线速度大小、角速度大小及周期、半径都相等由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件：卫星运行周期和地球自转周期相同；卫星的运行轨道在地球的赤道平面内；卫星距地面高度有确定值热点、重点、难点一、圆周运动关于圆周运动，在高考中除了一般会出现星体问题，带电粒子在匀强磁场中的运动的试题外，还常会出现其他考查动能和功能关系的圆周运动问题如2009年高考安徽理综卷第24题、浙江理综卷第24题，2008年高考山东理综卷第24题、广东物理卷第17题，2007年高考全国理综卷第23题等例1如图35 所示，两个圆弧轨道固定
9、在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，则下列说法正确的是()图35A若hAhB2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点B若hAhB，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为C适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处D若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为，B小球在hB2R的任何高度均可【解析】当hB2R时，B小球能沿圆管运动到达最高点，且由机械能守恒定律知到达最高点时速度减为零，故当hA2R时，A小球到达
10、最高点前已离开圆弧轨道；同理，当hAhBR时，B小球能恰好上升至R，A小球上升至前已离开圆弧，故选项A、B错误要使小球从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口，在最高点的初速度应为v0又因为A小球沿凹槽到达最高点的条件为mmg，即v，故A小球不可能从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口处又由机械能守恒定律，A小球能到达凹槽轨道高点的条件为：mghamg2Rm()2得haR故选项C错误、D正确答案D【点评】除了天体问题和带电粒子在匀强磁场中运动外，竖直方向的圆周运动问题是较常出现的题型本例题较典型地包含这类问题中的动力学关系和动能关系二、天体质量、密度及表面重力加速度的计算1星体表面的重力加速度：gG
11、2天体质量常用的计算公式：M例2假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星已知该卫星贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T，引力常量为G，那么()A可以计算火星的质量B可以计算火星表面的引力加速度C可以计算火星的密度D可以计算火星的半径【解析】卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：Gmr而火星的质量Mr3联立解得：火星的密度由M，gGr知，不能确定火星的质量、半径和其的表面引力加速度，所以C正确答案C【点评】历年的高考中都常见到关于星体质量(或密度)、重力加速度的计算试题，如2009年高考全国理综卷第19题，江苏物理卷第3题，2008年高考上海物理卷1
12、(A)等同类拓展1我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为()A B C D【解析】设月球表面附近的重力加速度为g0有：T2又由g0G，可解得答案B三、行星、卫星的动力学问题不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、周期及向心加速度的关系例32008年9月25日到28日，我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点
13、火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟下列判断正确的是2009年高考山东理综卷()A飞船变轨前后的机械能相等B飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度【解析】飞船点火变轨，反冲力对飞船做正功，飞船的机械能不守恒，A错误飞船在圆形轨道上绕行时，航天员(包括飞船及其他物品)受到的万有引力恰好提供所需的向心力，处于完全失重状态，B正确神舟七号的运行高度远低于同步卫星，由2知，C正确由牛顿第二定律aG知，变轨前后过同一点的加速度相
14、等答案BC【点评】对于这类卫星变轨的问题，特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式a2r，因为变轨前后卫星在同一点的速度、轨道半径均变化，一般要通过决定式a来比较同类拓展2为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16日13分成功撞月图示为嫦娥一号卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G根据题中信息()A可以求出月球的质量B可以求出月球对嫦娥一号卫星的引力C可知嫦娥一号卫星在控制点1处应减速
15、D可知嫦娥一号在地面的发射速度大于11.2 km/s【解析】由GmR可得月球的质量M，A正确由于不知嫦娥一号的质量，无法求得引力，B错误卫星在控制点1开始做近月运动，知在该点万有引力要大于所需的向心力，故知在控制点1应减速，C正确嫦娥一号进入绕月轨道后，同时还与月球一起绕地球运行，并未脱离地球，故知发射速度小于11.2 km/s，D错误答案AC四、星体、航天问题中涉及的一些功能关系1质量相同的绕地做圆周运动的卫星，在越高的轨道动能Ekmv2G越小，引力势能越大，总机械能越大2若假设距某星球无穷远的引力势能为零，则距它r处卫星的引力势能EpG(不需推导和记忆)在星球表面处发射物体能逃逸的初动能为
16、Ek|Ep|G例42008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上观测得到S2星的运动周期为15.2年(1)若将S2星的运行轨道视为半径r9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍(结果保留一位有效数字)(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具
17、有的势能为EpG(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径已知引力常量G6.71011 Nm2 /kg2，光速c3.0108 m/s，太阳质量MS2.01030 kg，太阳半径RS7.0108 m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径RS之比应小于多少(结果按四舍五入保留整数)2009年高考天津理综卷【解析】(1)S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为，周期为T，则有：GmS22r设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则：GmE()2rE综合上
18、述三式得：()3()2上式中TE1年，rE1天文单位代入数据可得：4106(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远处，此时粒子的势能为零“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零根据能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有：mc2G0依题意可知：RRA，MMA可得：RA代入数据得：RA1.21010 m故17答案(1)4106(2)17【点评】“黑洞”问题在高考中时有出现，关键要理解好其“不能逃逸”的动
19、能定理方程：mc2G0EpG是假定离星球无穷远的物体与星球共有的引力势能为零时，物体在其他位置(与星球共有)的引力势能，同样有引力做的功等于引力势能的减少同类拓展32005年10月12日，神舟六号飞船顺利升空后，在离地面340 km的圆轨道上运行了73圈运行中需要多次进行轨道维持所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间、推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行如果不进行轨道维持，由于飞船在轨道上运动受摩擦阻力的作用，轨道高度会逐渐缓慢降低，在这种情况下，下列说法正确的是()A飞船受到的万有引力逐渐增大、线速度逐渐减小B飞船的向心加速度逐渐增大、周期逐渐减小、线速度和角速度都
20、逐渐增大C飞船的动能、重力势能和机械能都逐渐减小D重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小【解析】飞船的轨道高度缓慢降低，由万有引力定律知其受到的万有引力逐渐增大，向心加速度逐渐增大，又由于轨道变化的缓慢性，即在很短时间可当做匀速圆周运动，由Gmm2rmr知，其线速度逐渐增大，动能增大，由此可知飞船动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，由空气阻力做负功知机械能逐渐减少答案BD五、双星问题例5天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星双星系统在银河系中很普遍利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动
21、，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量(引力常量为G)2008年高考宁夏理综卷【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为1、2根据题意有：12r1r2r根据万有引力定律和牛顿定律，有：Gm1r112Gm2r222联立解得：r1根据角速度与周期的关系知12联立解得：m1m2答案【点评】在双星系统中，当其中一星体质量远远大于另一星体时，它们的共同圆心就在大质量星球内部且趋近于球心经典考题1天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为1.4小时，引力常量
22、G6.671011 Nm2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为2009年高考全国理综卷()A1.8103 kg/m3B5.6103 kg/m3C1.1104 kg/m3 D2.9104 kg/m3【解析】由GmR，可得，地球密度，再由质量和体积关系得该行星的密度2.9104 kg/m3答案D22009年2月11日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境假定有甲、乙两块碎片，绕地球运行的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是2009年高考安徽理综卷
23、()A甲的运行周期一定比乙的长B甲距地面的高度一定比乙的高C甲的向心力一定比乙的小D甲的加速度一定比乙的大【解析】由v可知，甲碎片的速率大，轨道半径小，故B错误；由公式T2可知，甲的周期小，故A错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；碎片的加速度是指引力加速度，由Gma，可得a，甲的加速度比乙大，D正确答案D3.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行已知地球半径为6.4106 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6107 m这一事实可得到哈勃望远镜绕
24、地球运行的周期以下数据中，最接近其运行周期的是2008年高考四川理综卷()A0.6小时 B1.6小时 C4.0小时 D24小时【解析】由开普勒行星运动定律可知，恒量，所以，其中r为地球的半径，h1，t1，h2，t2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24 h)，代入解得：t11.6 h答案B【点评】高考对星体航天问题的考查以圆周运动的动力学方程为主，具体常涉及求密度值、同步卫星的参量、变轨的能量变化等在具体解题时要注意运用好几个常用的代换4我国发射的嫦娥一号探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化，卫星将获
25、得的信息持续用微波信号发回地球设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)2008年高考全国理综卷【解析】如图所示，设O和O分别表示地球和月球的中心在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO与地月球表面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡设探月卫星的质量为m0，引力常量为G，根据万有引力定律有：Gm()2rGm0()2r1(其中T1表示探月卫星绕月球转动的周期)由以上两式可得：()2()3设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，有：，其中COA，COB由几何关系得：rcos RR1，r1cos R1联立解得：t(arccosarccos)答案(arccosarccos)【点评】航体星体问题有时在高考中也以计算题出现，解答的关键仍是做圆周运动的动力学方程另外，还需要同学们具有丰富的想象力，描绘情境图、难图化易、化整为零等能力