1、高中专题分类讨论思想分类讨论广泛地存在于中学数学的各类问题中，如果我们以命题的条件和结论的结构为标准，就会发现含参数的问题可分为两种类型：一是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；二是由给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件(如恒成立问题中求参数的取值范围)。本文拟就第一类问题的解题思想方法作一些探讨与归纳，供大家在高三复习时参考。所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要根据问题的条件和结论所涉及到的概念、定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论
2、，最后结合各类的结果，得到整个问题的解答。由此可见，分类讨论思想本质上是一种“逻辑划分思想”，即把所要研究的数学对象划分成若干不同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想。同时它也是一种重要的化难为易，化繁为简的解题策略和方法，体现了化整为零、积零为整的思想。所以有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人思维的条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。一、分类的原则分类讨论要注意科学合理的分类。把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1、2、3n）（n2，nN），使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即A1
3、A2A3AnA AiAj（i,jN,且ij）。则称对集A进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）。科学的分类满足两个条件：条件保证分类不遗漏；条件保证分类不重复。由此我们得出分类讨论必须遵循以下原则：施行分类的集合的全域必须是确定的；每一次分类的标准必须是统一的；分类必须是完整的，不出现遗漏；各子集必须是互斥的，不出现重复；如需多项分类，必须逐级进行，不得越级。二、分类讨论的方法和步骤用分类讨论思想解答数学问题时，我们一般是按如下步骤操作：判断是否需要分类讨论，明确讨论的对象，确定所讨论对象的取值范围；.确定分类标准，进行科学合理分类，注意做到不重不漏；.逐类进行讨论，分级进行，获取阶段性结果
4、及得出各类结果；归纳各类结果，总结出结论。现举例说明：例：设首项为1，公比为q（q0）的等比数列的前n项和为Sn,又设Tn ，n1，2，求 Tn 。解：当q1时，Snn，Tn , ；当q1时，Sn ；当0q1时， 当q1时， 。综上所述， 。三、确定分类的标准在确定讨论的对象后，最困难的是确定分类的标准，每进行一次分类，就需要一个分类标准，可以按某个条件成立与否划分为两类，也可以按某条件的不同情况分别分类。一般来讲，分类标准的确定通常有三种： 1、根据问题所涉及到的数学概念来确定分类标准这种分类讨论题型可以称为概念型，主要有：(1)理解绝对值的定义 ，是我们去掉绝对值符号理论依据。如在解含有绝
5、对值的不等式： |x1|+|x+2|6时，就必须根据x1，x2的正负分界值1和2（即零点）将定义域分成三个区间进行讨论，即分x2，2x1，x2三种情形分类讨论。(2)在集合的运算中，应注意讨论A是否可能为空集的情况。遇到AB=时，你是否注意到“极端”情况：A=或B=；同样当 时，你是否忘记A=的情形？因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。所以解题时，若未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性。如集合A=x|ax-1=0，B=x|x2-3x+2=0，且AB=B，求实数的值（答：=0,1,1/2）。(3)指数函数y=ax与对数函数ylog ax的单调性是分0a1和a1两种情况给出的，所以在解
6、底数中含有字母的不等式；就应以底数a1和0a1进行分类讨论，如解关于x的不等式ax1当a1时，x0,当0a1时，x1即：当a1时，xa, 当0a1时，0xr,d=r,d0, =0, b时，分a0、a0（还需讨论b）和a0,=0,0与a0）。其它含参不等式的解法，利用其性质等价转化为一元二次不等式（组）或高次不等式求解。(2)二次型函数求值域或最值时，讨论对称轴相对于区间的位置或开口方向。如函数f(x)ax2 2ax2b(a0)在闭区间2,3上有最大值5，最小值2，求a、b的值（答案：a1，b0或a1,b3）。(3)在解斜三角形时，若已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解题时，注意解的可能情況。若A为锐角，当a=bsinA,三角形有一解；当bsinAab,三角形有两解；当ab，有一解，当ab，无解。
