1、第四节二次函数与幂函数考试要求：1通过具体实例，结合yx，yx1，yx2，yx，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数2理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、教材概念结论性质重现1幂函数的概念一般地，函数yx称为幂函数，其中为常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数(2)x的系数为1(3)解析式只有一项2常见的五种幂函数的图象3幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)(2)如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，)上是增函数(3)如果0)f(x)ax2bxc
2、(a0)图象定义域R值域单调性在上单调递增；在上单调递减在上单调递增；在上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关5常用结论(1)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n1，所以函数y2x26x3在1,1上单调递减当x1时，y取得最小值，所以
3、ymin2631考点1幂函数的图象和性质基础性1幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在区间(0，)上是增函数B偶函数，且在区间(0，)上是减函数C奇函数，且在区间(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在区间(0，)上是增函数D解析：设幂函数f(x)xa，则f(3)3a，解得a，所以f(x)x，是非奇非偶函数，且在区间(0，)上是增函数2(2021南昌月考)若幂函数y(m23m3)x的图象不过原点，则()A1m2Bm1或m2Cm2Dm1B解析：因为幂函数y(m23m3)x的图象不过原点，所以解得m1或2，符合题意故选B3与函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()B
4、解析：yx的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B4若(a1)2(32a)2，则a的取值范围是_(，1)(4，)解析：因为(a1)2(32a)2，又f(x)x2为偶函数，且在(0，)上单调递减，所以解得a且a1或a41解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解2有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性质共同得出结论考点2二次函数的解析式综合性已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x
5、)的解析式解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故f(x)4x24x7(方法二：利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x所以m又根据题意函数有最大值8，所以n8，所以yf(x)a8因为f(2)1，所以a81，解得a4，所以f(x)484x24x7(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0，即f(x)ax2ax2a1又函数有最大值ymax8，即8，解得a4故f(x)4x24x7求二次函数解析式的策略1若函数f(x)x2axb在区
6、间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关B解析：设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b所以Mmxxa(x2x1)，显然与a有关，与b无关2(2022青岛模拟)设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)x2axb满足f(a)f(b)，则f(2)()A7 B5 C4 D2C解析：由f(x)x2axb可得函数f(x)图象的对称轴为直线x又由ab，f(a)f(b)得f(x)图象的对称轴为直线x，所以，得2ab0，所以f(2)42ab4故选C考点3二次函数
7、的图象和性质应用性考向1二次函数的图象应用(1)已知函数f(x)ax2xc，且f(x)0的解集为(2,1)，则函数yf(x)的图象为()D解析：因为函数f(x)ax2xc，且f(x)0的解集为(2,1)，所以2,1是方程ax2xc0的两根把x2,1分别代入方程得联立解得a1，c2所以f(x)x2x2所以函数yf(x)x2x2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(1,0)和(2,0)故选D(2)对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()A解析：若0a1，则ylogax在(0，)上单调递增，y(a1)x2x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，
8、因此B不正确，只有A满足1解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法抓住函数的特殊性质或特殊点(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系2分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也能从图象中得到如上信息考向2二次函数的单调性若函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0D3,0D解析：当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的图象对称轴为x由f(x)在1，)上单调递减知解得3a0综上，a的取
9、值范围为3,0若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a_3解析：由题意知f(x)必为二次函数且abc且abc0，则f(x)的图象可能是()D解析：由abc且abc0，得a0，c0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C又f(0)c0，排除选项B故选D2(多选题)设函数f(x)ax2bxc(a0)，对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，则f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()Af(1)Bf(1)Cf(2)Df(5)ACD解析：因为对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，所以函数f(x)ax2bxc(a0)图象的对称轴是x2当a0时，函数值f(1)，f(1)
10、，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a0时，函数值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(1)和f(5)3函数f(x)ax2(a1)x3在区间1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()AB(，0)CDD解析：若a0，则f(x)x3，f(x)在区间1，)上是增函数，符合题意若a0，因为f(x)在区间1，)上是增函数，故解得0a综上，0a故选D4已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_解析：2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a，易知(，11，)，所以当x1时，函数f(x)取最小值，所以a综上，实数a的取值范围是