1、圆锥曲线中的定点与定值问题A组夯实基础1(2018东北三校联合模拟)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点(1)解：设P(x，y)，则(y1)1x28y.所以E的方程为x28y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直线AB恒过定点(0,4)2(2018濮阳
2、模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，ABF1的周长为8，且AF1F2的面积最大时，AF1F2为正三角形(1)求椭圆C的方程；(2)若是椭圆C经过原点的弦，MNAB，求证：为定值(1)解：由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，又ABF1的周长为8，所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，即a2，由椭圆的对称性可得，AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a2c，即c1，b2a2c23，则椭圆C的方程为1.(2)证明：若直线l的斜率不存在，即l：x1，求得|AB|3，|MN|2，可得4；若直线l的斜
3、率存在，设直线l：yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，代入椭圆方程1，可得(34k2)x28k2x4k2120，有x1x2，x1x2，|AB|，由ykx代入椭圆方程，可得x，|MN|24，即有4.综上可得为定值4.3(2018娄底模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点(1)解：因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线
4、AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得ky24y4b0.由根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2yAyB0，即2yAyB0，解得yAyB32或yAyB0(舍去)所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)B组能力提升1(2018江西模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的
5、圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的方程；(2)A，B分别为椭圆C的左、右顶点，动点M满足MBAB，直线AM与椭圆交于点P(与A点不重合)，以MP为直径的圆交线段BP于点N，求证：直线MN过定点(1)解：以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切原点到直线xy20的距离d，b，又椭圆C：1(ab0)的离心率为，e，则 ，a2，椭圆C的方程为1.(2)证明：设M(2，t)，则直线AM的方程为y(x2)，联立消去y得，x2x40，xAxP，则xP，yP(xP2).故kPB，又以MP为直径的圆上与线段BP交于点N，则MNBP，故直线MN方程为yt(x2)，即yx，直线MN过定点O(0,
6、0)2(2018攀枝花模拟)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C：1(ab0)过点，椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：xmyn与椭圆C相交于A、B两点，以AB为直径的圆经过坐标原点O.试问：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)椭圆C过点，1，椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点，a2c，由得a2，b，椭圆C的方程为：1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(3m24)y26mny3n2120，36m2n24(3m24)(3n212)03m2n240，y1y2，y1y2.x1x2(my1n)(my2
7、n)m2y1y2mn(y1y2)n2，以AB为直径的圆经过坐标原点O，x1x2y1y20 n2(m21)，满足0，点O到直线l的距离d，d2d， 点O到直线AB的距离为定值.3(2018黄山模拟)如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：1上的任一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)22作两条切线，分别交椭圆于点P，Q. (1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由(1)证明：因为直线OP：yk1x，OQ：yk2x与圆M相切，所以，化简得：(x2)k2x0y0k1y20，同理：(x2)k2x0y0k2y20，所以k1，k2是关于k的方程(x2)k22x0y0ky20的两个不相等的实数根，所以k1k2.因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y3x，所以k1k2为定值(2)解：|OP|2|OQ|2是定值，定值为9.理由如下：当M点坐标为(，)时，直线OP，OQ落在坐标轴上，显然有|OP|2|OQ|29.当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为k1k2，所以yyxx，因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，所以即所以xx，整理得xx6，所以yy3，所以|OP|2|OQ|29.
