1、第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.3 一元二次不等式的应用知识点三个二次的关系1.%0*11*8*%(2020华师一附中月考)已知不等式ax2-bx-10的解集是13,12,则不等式x2-bx-a0的解集是()。A.(2,3)B.13,12C.-,3232,+D.(-3,-2)答案：D解析：ax2-bx-10的解集是13,12,则a0且13+12=ba,1312=-1a,解得a=-6,b=-5,则不等式x2-bx-a0即x2+5x+60,求解一元二次不等式可得-3x-2,表示为区间形式即(-3,-2)。2.%2*#600#%(2020合肥一中月考)若关于x的不等式mx2+8m
2、x+280的解集是x|-7x-1,则实数m的值是()。A.1B.2C.3D.4答案：D解析：由题意,关于x的不等式mx2+8mx+280的解集为x|-7x-1,所以方程mx2+8mx+28=0的两根为-7,-1,由韦达定理可得(-7)(-1)=28m,解得m=4,故选D。3.%#476*0*%(2020太和一中检测)关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根,则实数m的取值范围是()。A.m-2B.m0C.m0答案：A解析：方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根,则=m2-40,-m0,解得m0,a24,即a2或a-2,故选CD。5.%#48*80#%(2020寿县一中月考)已知不
3、等式x2-2x-30的解集为A,不等式x2+x-60的解集为B。(1)求AB;答案：解:由x2-2x-30得-1x3,A=(-1,3)。由x2+x-60,得-3x2,B=(-3,2)。AB=(-1,2)。(2)若不等式x2+ax+b0的解集为AB,求不等式ax2+x+b0的解集。答案：由题意,得1-a+b=0,4+2a+b=0,解得a=-1,b=-2,ax2+x+b0即-x2+x-20,此不等式恒成立,不等式的解集为R。6.%#3*8￥*30%(2020和县一中月考)已知函数y=ax2-bx+1。(1)是否存在实数a,b使不等式y0的解集是x|3x0的解集是x|3x0时,不等式ax2-bx+1
4、0的解集不可能是x|3x0的解集是x|3x0,函数y=ax2-bx+1图像与x轴有两个交点。又函数y的图像在(-2,-1)上与x轴恰有一个交点,当x=-2和x=-1时,对应的函数值之积小于0,即(6a+5)(2a+3)0,解得-32a-56。aZ,a=-1。题型1一元二次不等式中的恒成立问题7.%*￥8271%(2020九江中学月考)已知函数y=kx2-6kx+k+8的定义域为R,则实数k的取值范围是()。A.0k1B.0k1C.k1D.k0或k1答案：A解析：因为定义域为R。所以kx2-6kx+k+80恒成立,当k=0时显然成立;当k0时,k0,=36k2-4k(k+8)0,解得02x-1恒
5、成立的x的取值范围是()。A.(3,+)(-,-1)B.(3,+)(-,1)C.(-,-1)D.(3,+)答案：A解析：由t2-40解得-2t2,即-2t2时,x2+(t-2)x-t+10恒成立,即(x+t-1)(x-1)0恒成立,故只需x+t-10,x-10或x+t-10,x-11-t,x1或x1-t,x3或x0,x-2+x2-4x+40,解得x3。故答案为B。11.%48*￥58#￥%(2020江西师大附中检测)若关于x的不等式x2-4xm对任意x0,1恒成立,则实数m的取值范围是()。A.m-3B.m-3C.-3m0D.m-3或m0答案：A解析：令y=x2-4x,x0,1。要使关于x的不
6、等式x2-4xm对任意x0,1恒成立,只要yminm即可。y的对称轴方程为x=2,当0x1时,y随x的增大而减小。当x=1时取得最小值为-3,则实数m的取值范围是m-3。12.%￥55*4*0%(2020华师一附中月考)若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0对任何实数x恒成立,则实数m的取值范围是。答案：-,-1311解析：当m=-1时,不等式的解集为x3,不合题意;当m-1时,m+10,0,解得m-1311。所以实数m的取值范围是-,-1311。13.%#*6*780%(2020武汉二中月考)当x(1,2)时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是。答案：(-,-5解析：令y
7、=x2+mx+4,则y的图像是开口向上的抛物线。要当x(1,2)时,y2x+m在-1,1上恒成立,则实数m的取值范围是。答案：(-,-1)解析： x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,令y=x2-3x+1-m=x-322-54-m,其对称轴为直线x=32,y在区间-1,1上是减函数,ymin=1-3+1-m0,m-1,故答案为(-,-1)。15.%*#2051%(2020黄冈中学期中)已知y=3ax2+6x-1,aR。(1)当a=-3时,求证:对任意xR,都有y0;答案：证明:当a=-3时,y=-9x2+6x-1,=36-36=0,且函数y的图像的开口方向向下,对任意xR都有y0。(2)如果
8、对任意xR,y4x恒成立,求实数a的取值范围。答案：解:由y4x对任意xR恒成立,得3ax2+6x-14x对任意xR恒成立,即3ax2+2x-10对任意xR恒成立。当a=0时,不等式为2x-10,故对任意xR不恒成立;当a0时,由题意得3a0,=4+12a0,解得a-13。综上可得a-13。实数a的取值范围是-,-13。16.%04*1#9%(2020沈阳模拟)已知函数y1=x2-2x-8,y2=2x2-4x-16。(1)求不等式y20的解集;答案：解:y2=2x2-4x-160,(2x+4)(x-4)0,-2x4,不等式y20的解集为x|-2x2时,y1(m+2)x-m-15恒成立,求实数m
9、的取值范围。答案：y1=x2-2x-8,当x2时,y1(m+2)x-m-15恒成立,x2-2x-8(m+2)x-m-15,即x2-4x+7m(x-1)。对一切x2,不等式mx2-4x+7x-1恒成立。而x2-4x+7x-1=(x-1)+4x-1-22(x-1)4x-1-2=2(当且仅当x=3时等号成立)。实数m的取值范围是(-,2。题型2一元二次不等式的应用17.%￥0#5#32%(2020合肥168中学月考)若关于x的不等式x2+ax-20在区间1,4上有解,则实数a的取值范围为()。A.(-,1)B.(-,1C.(1,+)D.1,+)答案：A解析：关于x的不等式x2+ax-20在区间1,4
10、上有解,等价于a2x-xmax,x1,4。设y=2x-x,x1,4,则函数y在x1,4单调递减,且当x=1时,函数y取得最大值,当x=1时,y=1,所以实数a的取值范围是(-,1)。18.%*0175*%(2020团风中学期中)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=500+30x。若要求每日获利不少于1 300元,则日销售量x的取值范围是()。A.20x30B.20x45C.15x30D.15x45答案：B解析：设该厂每日获得的利润为y元,则y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500
11、,0x0的解集为x|xa,则实数a的取值范围。答案：0,1解析：由题意可得a2和a是方程x2-(a2+a)x+a3=0的根,又=(a2+a)2-4a3=a2(a-1)20,所以a2-a0,故0a1。21.%*581*￥5#%(2020临川一中月考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0。(1)求证:y1=-a或y2=-a;答案：证明:a2+(y1+y2)a+y1y2=0,(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a。(2)求证:函数的图像必与x轴有两个交点;答案：证明:当a0时,二次函数y的图像开口向
12、上,图像上的点A或点B的纵坐标为-a,小于零,图像与x轴有两个交点;当a0的解集为x|xm或xn(nm0。答案：解:ax2+bx+c0的解集为x|xm或xn(nm0,b0,c0。从而方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=1m,x2=1n,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x3=-1m,x4=-1n。nm0,-1n0的解集为xx-1m或x-1n。22.%1#652#*￥%(2020武汉外校月考)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽、柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划。某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2 500万元,每
13、生产x(百辆),需另投入成本C万元,且C=10x2+100x,0x40,501x+10 000x-4 500,x40。由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完。(1)求出利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)答案：解:当0x40时,L=500x-10x2-100x-2 500=-10x2+400x-2 500;当x40时,L=500x-501x-10 000x+4 500-2 500=2 000-x+10 000x。L=-10x2+400x-2 500,0x40,2 000-x+10 000x,x40。(2)产量为多少时,企业所获利润最大?并求出最大利润。答案：当0x40时,L=-10(x-20)2+1 500,当x=20时,L取得最大值1 500;当x40时,L=2 000-x+10 000x2 000-2x10 000x=1 800,当且仅当x=10 000x,即x=100时取等号。当x=100时,L取得最大值1 800。即产量为10 000辆时,企业所获利润最大,最大利润为1 800万元。