1、3等比数列3.1等比数列第1课时等比数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若an是等比数列,则下列数列不是等比数列的是()A.an+1B.1anC.4anD.an2答案:A2.在等比数列an中,2a4=a6-a5,则公比是()A.0B.1或2C.-1或2D.-1或-2解析:设公比为q(q0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,2=q2-q,q2-q-2=0,q=-1或q=2.答案:C3.若一个等比数列的首项为94,末项为23,公比为23,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6解析:在等比数列中,23=9423n-1=23n-3,n-3=1,即n=4,故选B.答案:B4.若数列an
2、满足an+1=4an+6(nN+)且a10,则下列数列是等比数列的是()A.an+6B.an+1C.an+3D.an+2解析:由an+1=4an+6可得an+1+2=4an+8=4(an+2),因为a10,所以an0,从而an+20(nN+),因此an+1+2an+2=4,故an+2是等比数列.答案:D5.在等比数列an中,若a5a6a7=3,a6a7a8=24,则a7a8a9的值等于()A.48B.72C.144D.192解析:设公比为q,由a6a7a8=a5a6a7q3,得q3=243=8.所以a7a8a9=a6a7a8q3=248=192.答案:D6.数列an是公差不为0的等差数列,且a
3、1,a3,a7为等比数列bn的连续三项,则数列bn的公比为()A.2B.4C.2D.12解析:a1,a3,a7为等比数列bn中的连续三项,a32=a1a7.设an的公差为d,则d0,(a1+2d)2=a1(a1+6d),a1=2d.公比q=a3a1=4d2d=2,故选C.答案:C7.(2017全国3高考)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.解析:设an的公比为q,则由题意,得a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,解得a1=1,q=-2,故a4=a1q3=-8.答案:-88.设数列an是等比数列,公比q=2,则2a1+a22a3+a4的值是.解析:q=2,2a
4、1=a2,2a3=a4,2a1+a22a3+a4=2a22a4=1q2=14.答案:149.已知数列an满足a9=1,an+1=2an(nN+),则a5=.解析:由an+1=2an(nN+)知,数列an是公比q=an+1an=2的等比数列.所以a5=a1q4=a1q8q4=a9q4=116.答案:11610.若数列an为等差数列,且a2=3,a5=9,则数列12an一定是数列(填“等差”或“等比”).解析:设an的公差为d,则a1+d=3,a1+4d=9,解得a1=1,d=2,于是an=2n-1,从而12an=122n-1=214n,设bn=214n,则bn+1bn=14,故12an一定是等比
5、数列.答案:等比11.导学号33194017在等比数列an中,a1a9=256,a4+a6=40,则公比q=.解析:a1a9=a12q8,a4a6=a1q3a1q5=a12q8,a1a9=a4a6.可得方程组a4+a6=40,a4a6=256.解得a4=32,a6=8或a4=8,a6=32.q2=a6a4=832=14或q2=328=4.q=12或q=2.答案:-2,2,-12,1212.在等比数列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项,试求数列bn的通项公式.解(1)设an的公比为q(q0),由已知得16=2q3,解
6、得q=2,an=a1qn-1=22n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,设bn的公差为d,则有b1+2d=8,b1+4d=32,解得b1=-16,d=12,bn=-16+12(n-1)=12n-28.13.导学号33194018已知关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(nN+)的两根,满足6-2+6=3,且a1=1.(1)试用an表示an+1;(2)求证:数列an-23为等比数列;(3)求数列an的通项公式.(1)解因为,是方程anx2-an+1x+1=0(nN+)的两根,所以+=an+1an,=1an.又因为6-2+6=3,所以6an+1-3an
7、-2=0.所以an+1=12an+13.(2)证明因为an+1=12an+13an+1-23=12an-13an+1-23an-23=12为常数,且a1-23=13,所以an-23为等比数列.(3)解令bn=an-23,则bn为等比数列,公比为12,首项b1=a1-23=13,所以bn=1312n-1.所以an=bn+23=1312n-1+23.所以数列an的通项公式为an=1312n-1+23.14.导学号33194019容积为a L(a1)的容器盛满酒精后倒出1 L,然后加满水,再倒出1 L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第n次操作后溶液的浓度是多少?当a=2时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?解开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a1=1-1a.设操作n次后溶液的浓度是an,则操作n+1次后溶液的浓度是an+1=an1-1a.所以an构成以a1=1-1a为首项,q=1-1a为公比的等比数列.所以an=1-1an,即第n次操作后溶液的浓度是1-1an.当a=2时,由an=12n110,得n4.因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.