1、课时质量评价(四十八)A组全考点巩固练1已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A1(x) B1(x)C1(x) D1(x)A解析：设动圆M的半径为r，由题意可得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|22a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a2的双曲线的右支上，即a，c4b216214，故动圆圆心M的轨迹方程为1(x)2已知双曲线C：1(b0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|BF1|，则|AB|()A4 B8 C16
2、D32C解析：由双曲线定义知|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，由于|AF1|BF1|，所以两式相加可得|AF2|BF2|4a，而|AB|AF2|BF2|，所以|AB|4a，由双曲线方程知a4，所以|AB|16故选C 3已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1D解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，所以所以xyb212，故双曲线的方程为1故选D4(2020新课标)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|
3、OP|2，则PF1F2的面积是()A B3 C D2B解析：由题意可得a1，b，c2，所以|F1F2|2c4因为|OP|2，所以|OP|F1F2|，所以PF1F2为直角三角形，所以PF1PF2，所以|PF1|2|PF2|24c216因为|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|6，所以PF1F2的面积为S|PF1|PF2|3故选B5已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，点P在双曲线上，PF1F2是等腰三角形且底角的余弦值为，则该双曲线的离心率为()A B C D2D解析：不妨设点P在第一象限，如图，|PF2|2c，|PF1|
4、2c2a，所以，所以2(当PF1F1F2时不成立)6(多选题)已知双曲线E：1(m0)的一条渐近线方程为x3y0，则下列说法正确的是()A双曲线E的焦点在x轴上BmC双曲线E的实轴长为6D双曲线E的离心率为AD解析：由m0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；根据题意得，所以m36，故B错误；双曲线E的实轴长为212，故C错误；双曲线E的离心率e，故D正确故选AD7(2020全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_2解析：如图，A(a,0)由BFx轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则kA
5、B3，即b23ac3a2又因为c2a2b2，即b2c2a2，所以c23ac2a20，所以e23e20解得e2或e1(舍去)故e28(2021济南模拟)已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x2)2y21都相切，则双曲线C的离心率是_或2解析：设双曲线C的渐近线方程为ykx，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以1，所以k，则可得双曲线的一条渐近线的方程为yx故需分双曲线的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论：当双曲线的焦点在x轴上时，有，即ab，所以e；当双曲线的焦点在y轴上时，有，即ab，所以e2所以双曲线C的离心率为或29已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4,0)，实轴长为4(
6、1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得a2，c4，再由a2b2c2，得b24，所以双曲线C的标准方程为1(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx2与1联立，得(13k2)x212kx360由题意知解得k1所以当k1时，l与双曲线左支有两个交点B组新高考培优练10已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A8 B9 C10 D11B解析：由题
7、意知2a6，则a3，又由得b1，所以c，则F1(，0)根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5|F1E|559，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号故选B11已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点落在直线yx2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A1 B1Cx21 Dy21D解析：依题意得，直线yx2与x轴的交点(2,0)是双曲线的一个焦点，于是有a2b24又双曲线的焦点到渐近线的距离为b1，因此有a23，故双曲线的方程为y2112已知双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，则其经过第一、三象限的渐近
8、线的倾斜角的取值范围是()A BC DC解析：因为双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，所以12，所以14，又c2a2b2，所以03，所以，所以1(a0，b0)经过第一、三象限的渐近线的方程为yx，设该渐近线的倾斜角为，则tan 又，所以 13(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4 B8 C16 D32B解析：双曲线的渐近线方程为yx，分别与xa联立，可得D(a，b)，E(a，b)，所以SODEa|DE|a2bab8，所以c2a2b22ab16当且仅当ab2时，等号成立所以c2的最
9、小值为16，所以c的最小值为4，所以C的焦距的最小值为24814双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与直线x2y10垂直，F1，F2分别为C的左、右焦点，A为双曲线上一点若|F1A|2|F2A|，则cos AF2F1_解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x2y10垂直，所以b2a又|F1A|2|F2A|，且|F1A|F2A|2a，所以|F2A|2a，|F1A|4a，而c25a2，即2c2a，所以cos AF2F115已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|_3解析：因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以M
10、ON60不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|316中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos F1PF2的值解：(1)由题知c，设椭圆方程为1(ab0)，双曲线方程为1(m0，n0)，则解得则b6，n2故椭圆方程为1，双曲线方程为1(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4又|F1F2|2，所以cos F1PF2