1、2016-2017学年湖南省浏阳一中、攸县一中高二（上）12月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设xR，则x=1是x3=x的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件2下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）ABy2=1Cx2=1Dy2=13在ABC中，若a=2，b=2，B=60，则角A的大小为（）A30B60C30或150D60或 1204如图，空间四边形OABC中， =， =， =，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A+B +C +D +5已知a0，x，y满
2、足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）ABC1D26在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形7已知an是递增数列，且对任意nN*都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是（）A（，+）B（0，+）C2，+）D（3，+）8直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D909若不等式x2ax+b0的解集为（1，2），则不等式的解集为（）A（，+）B（，0
3、）（，+）C（，+）D（，0）（，+）10已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA3acosB=c，则下列结论正确的是（）AtanBtanA=2BBtanA=2tanBCtanB=2tanADtanA+tanB=211已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列an前n项的和，则（nN+）的最小值为（）A4B3C22D12过双曲线=1（a0，b0）的右焦点D作直线y=x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）AB2CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置1
4、3已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=14在ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=，则b=15已知正数x，y满足x2+2xy3=0，则2x+y的最小值是16椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题p：x1，2，x2a0，命题q：x0R，x02+2ax0+2a=0；若命题（pq）是假命题，求实数a的取值范围18在ABC中，sin（CA）=1，sinB=（）求sinA的值；（）设AC=，求ABC的面积19已知抛物
5、线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3，（1）求m的值；（2）设P是x轴上的一点，且ABP的面积为9，求P的坐标20已知数列an为公差不为零的等差数列，S6=60，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，且b1=3，求数列的前n项和Tn21如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2（1）求证：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值22如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方
6、程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由2016-2017学年湖南省浏阳一中、攸县一中高二（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设xR，则x=1是x3=x的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由x3=x解得x=0，1即可判断出结论【解答】解：由x3=
7、x，解得x=0，1x=1是x3=x的充分不必要条件故选：B2下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）ABy2=1Cx2=1Dy2=1【考点】双曲线的简单性质【分析】把曲线的方程化为标准方程，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程【解答】解：A，曲线方程是：，其渐近线方程是=0，整理得y=2x正确；B，曲线方程是：y2=1，其渐近线方程是y2=0，整理得y=x错误；C，曲线方程是：x2=1，其渐近线方程是x2=0，整理得y=x错误；D，曲线方程是：y2=1，其渐近线方程是y2=0，整理得y=x错误；故选：A3在ABC中，若a=2，b=2，B=60，则角A的大小为（）A30B60C30或
8、150D60或 120【考点】梅涅劳斯定理；正弦定理【分析】直接利用正弦定理求得sinA，结合三角形中的大边对大角得答案【解答】解：a=2，b=2，B=60，由正弦定理，得=，sinA=，又ab，A=30故选：A4如图，空间四边形OABC中， =， =， =，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A+B +C +D +【考点】空间向量的加减法【分析】由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项【解答】解： =，=+，=+，=+，=， =， =，=+，故选：A5已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最
9、小值为1，则a等于（）ABC1D2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z的最优解，然后确定a的值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：，z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x3）得，a=；故选：B6在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【考点】两角和与差的正切函数【分析】根据等差数列的通项公式求出tanA
10、，tanB的值，结合两角和差的正切公式求出tanC，判断A，B，C的大小即可得到结论【解答】解：在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，设a3=4，a7=4，d=tanA，则a7=a3+4d，即4=4+4tanA，则tanA=2，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，设b5=9，b2=tanB，d=2则b5=b2+3d，即9=tanB+32，则tanB=3，则A，B为锐角，tanC=tan（A+B）=1，则C=也是锐角，则这个三角形为锐角三角形故选：A7已知an是递增数列，且对任意nN*都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是（）A（，+）B（0，+）
11、C2，+）D（3，+）【考点】数列的函数特性；函数恒成立问题【分析】由an是递增数列，得到an+1an，再由“an=n2+n恒成立”转化为“2n1对于nN*恒成立”求解【解答】解：an是递增数列，an+1an，an=n2+n恒成立即（n+1）2+（n+1）n2+n，2n1对于nN*恒成立而2n1在n=1时取得最大值3，3，故选D8直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB
12、为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，DA1B=60故选C9若不等式x2ax+b0的解集为（1，2），则不等式的解集为（）A（，+）B（，0）（，+）C（，+）D（，0）（，+）【考点】一元二次不等式的解法【分析】由已知不等式的解集可求a，b的值，然后解不等式即可【解答】解：因为不等式x2ax+b0的解集为（1，2），所以1+2=a，12=b，即a=3，b=2，所以不等式为，整理得，解得x0或者x，所以不等式的解集为：（，0）（，+）故
13、选B10已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA3acosB=c，则下列结论正确的是（）AtanBtanA=2BBtanA=2tanBCtanB=2tanADtanA+tanB=2【考点】正弦定理【分析】由题意和正弦定理可得3sinBcosA3sinAcosB=sinC=sin（A+B），由三角函数的和差角公式及弦化切的思想可得结论【解答】解：ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA3acosB=c，由正弦定理可得3sinBcosA3sinAcosB=sinC，3sinBcosA3sinAcosB=sin（A+B），3sinBcosA3si
14、nAcosB=sinBcosA+sinAcosB，即2sinBcosA=4sinAcosB，两边同除以cosAcosB，得2tanB=4tanA，即tanB=2tanA故选：C11已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列an前n项的和，则（nN+）的最小值为（）A4B3C22D【考点】等差数列的性质【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列an的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值【解答】解：a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，（1+2d）2=1+12d得d=2或d=0（舍去），an
15、=2n1，Sn=n2，=令t=n+1，则=t+262=4当且仅当t=3，即n=2时，的最小值为4故选：A12过双曲线=1（a0，b0）的右焦点D作直线y=x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意直线AB的方程为y=（xc）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（xc）代入双曲线渐近线方程y=x得A（，），由=2，可得B（，），把B点坐标代入双曲线方程=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e=故选
16、：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置13已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=98【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100【解答】解：等差数列an前9项的和为27，a10=8，解得a1=1，d=1，a100=a1+99d=1+99=98故答案为：9814在ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=，则b=4【考点】解三角形【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=，利用余弦定理可得，即可求得b的值【解答】解：由题意，a=2，b+c=7，cosB=，b=4
17、故答案为：415已知正数x，y满足x2+2xy3=0，则2x+y的最小值是3【考点】基本不等式【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值【解答】解：x2+2xy3=0，y=，2x+y=2x+=2=3当且仅当即x=1时取等号故答案为：316椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是，【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a
18、2），则， =， =；则=，将式代入得=，2，1，故答案为：，三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题p：x1，2，x2a0，命题q：x0R，x02+2ax0+2a=0；若命题（pq）是假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】先求出命题p，q为真命题时a的范围，据复合函数的真假得到p，q中均为真，即可求出a的范围【解答】解：p真，则a1，q真，则=4a24（2a）0，即a1或a2，命题（pq）是假命题，pq为真命题，p，q均为真命题，a2，或a=1实数a的取值范围为a2，或a=118在ABC中，sin（CA）=1，sinB=（）求sinA
19、的值；（）设AC=，求ABC的面积【考点】解三角形【分析】（I）利用sin（CA）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求ABC的面积【解答】解：（）因为sin（CA）=1，所以，且C+A=B，又sinA0，（）如图，由正弦定理得，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=19已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3，（1）求m的值；（2）设P是x轴上的一点，且ABP的面积为9，求P的坐标【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）将直线的方程代入抛物线
20、的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值，从而解决问题（2）设P（a，0），先求点P（a，0）到AB：2xy4=0距离，再根据三角形的面积公式，求出a 值，可求P得坐标【解答】解：（1）由，4x2+4（m1）x+m2=0，由0有 16（m1）216m20，解得 m；设A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2=1m，x1x2=，|AB|=3，解得 m=4（2）设点P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d=，又SABP=|AB|d=9=3=3|a2|，|a2|=3，解得a=5或a=1，故点P的坐标为（5，0）或（1，0）20已知数列an为公差不为零
21、的等差数列，S6=60，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，且b1=3，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过设等差数列an的公差为d，利用S6=60、计算可知首项、公差，进而可得结论；（2）通过bn+1bn=an可知bnbn1=an1（n2，nN*），利用bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1计算可知当n2时bn=n（n+2），验证b1=3也适合，裂项可知=（），进而并项相加即得结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则，解得，an=2n+3；（2）由bn+1bn=an，bnbn1=an1（n2，nN*），当n2时
22、，bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=an1+an2+a1+b1=（n1）（n2+5）+3=n（n+2），又b1=3也适合，bn=n（n+2），=（），21如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2（1）求证：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EGFI，利用线面平行的
23、判定定理证明：EG平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系Oxyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角OEFC的正弦值；（3）求出=（，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，矩形OBEF，EFOB，EF=OB，G，I是中点，GIBD，GI=BDO是正方形ABCD的中心，OB=BDEFGI，EF=GI，四边形EFIG是平行四边形，EGFI，EG平面ADF，FI平面ADF，EG平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系Oxyz，则B（0，0），C（，0，0），E（0，2），F（0，0，2），
24、设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）OC平面OEF，平面OEF的法向量为=（1，0，0），|cos，|=二面角OEFC的正弦值为=；（3）解：AH=HF，=（，0，）设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）a=，b=0，c=，=（，），直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos，|=22如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在
25、，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x01），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2
26、，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，在方程中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而， =k注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有=k所以k1+k2=+=+（+）=2k代入得k1+k2=2k=2k1又k3=k，所以k1+k2=2k3故存在常数=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x01），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2=2k3，故存在常数=2符合题意2017年2月14日
