1、8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后篇巩固提升基础巩固1.长方体的三个面的面积分别是2,3,6,则长方体的体积是() A.32B.23C.6D.6答案C解析设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,长方体的三个面的面积分别是2,3,6,ab=6,ac=3,bc=2,解得a=3,b=2,c=1.长方体的体积V=abc=321=6.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A.16B.13C.12D.1答案A解析三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直
2、角三角形,高D1D=1,三棱锥D-ACD1的体积为V=1312111=16.3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为3,则该正四棱锥的全面积为()A.8B.12C.16D.20答案B解析由题意得侧面三角形底边上的高为(3)2+12=2,所以该四棱锥的全面积为22+41222=12.4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3B.43C.32D.1答案B解析如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为2,故底面积为(2)2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为1321=23.则几何体的体积为223=43.5.正三棱锥
3、的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为()A.423B.2C.223D.23答案D解析由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为2,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为1312222=23.6.设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为.答案283解析上底面积S1=63422=63,下底面积S2=63442=243,体积V=13(S1+S2+S1S2)h=13(63+243+63243)2=283.7.正四棱柱的一条对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有个.答案2解析设底面边长为a,高为h,由题
4、意得2a2+h2=81,2a2+4ah=144.这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长宽高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.答案90138解析该几何体的体积V=463+12433=90,表面积S=2(46+43+63)-33+12432+32+423+34=138.9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=23,则该棱锥的体积为.答案323解析侧棱SA=23,高SO=2,AO=SA2-SO2=22,因此,底面
5、正方形的边长AB=2AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=13AB2SO=13162=323.10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,求它的深度为 cm.答案75解析设油槽的上、下底面积分别为S,S.由V=13(S+SS+S)h,得h=3VS+SS+S=3190 0003 600+2 400+1 600=75(cm).能力提升1.如图,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图,这时水面恰好为中截面,则图中容器内水面的高度是.答案32a解析设题图中容器内水面的高度为h,水的
6、体积为V,则V=SABCh.又题图中水组成了一个直四棱柱,其底面积为34SABC,高度为2a,则V=34SABC2a,h=34SABC2aSABC=32a.2.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则A1B1AB=PO1PO,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=hax,于是OO1=h-PO1=h-hax=h1-xa.所以所求三棱柱的侧面积为S=3xh1-xa=3ha(a-x)x=3haa24-x-a22.当x=a2时,S有最大值为34ah,此时O1为PO的中点.
