1、阶段质量检测（二）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在五边形ABCDE中(如图)，()A BC D解析：选B.2已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：选Bab，m4，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，若ab与a垂直，则的值是()A1 B1 C2 D2解析：选A由题意可知(ab)aa2ba0.|a|，ab14(3)(2)10，10100，1.4若|a|，|b|2，且(ab)a，则
2、a与b的夹角是()A. B. C. D.解析：选B由于(ab)a，所以(ab)a0，即|a|2ab0，所以ab|a|22，所以 cosa，b，即a与b的夹角是.5设a，b，c为非零向量，若p，则|p|的取值范围为()A0,1 B1,2 C0,3 D1,3解析：选C，分别为a，b，c方向上的单位向量，当a，b，c同向时，|p|取得最大值3，且|p|的最小值为0，故选C.6已知角C为ABC的一个内角，向量m(2cos C1，2)，n(cos C，cos C1)若mn，则角C等于()A. B. C. D.解析：选Cmn，2cos2C3cos C20，(2cos C1)(cos C2)0，cos C，
3、又C为ABC的一个内角，C.7P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的()A内心 B外心 C垂心 D重心解析：选C，()0，0，.同理，P是ABC的垂心8如图所示，非零向量a，b，且BCOA，垂足为C，若a(0)，则()A. B. C. D.解析：选D由题意知0，()20.又a，2a2ab0，即a2ab，.9.已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，设a，b，则等于()A.ab B.abC.ab Dab解析：选B由题意得()，所以2，同理得2()2，即2 2 .2得4 2 3 ，即 4b2a3 ，所以ab.选B.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹
4、角分别为和，向量满足0，则与x轴正半轴夹角取值范围是()A. B. C. D.解析：选B由题意，由向量加法的几何意义得是以与为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量，所以与x轴正半轴夹角的取值介于与与x轴正半轴夹角之间由题意得，与x轴正半轴夹角分别为与.11已知a(1，)，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB的面积是()A. B2 C2 D4解析：选D由题意|且，所以(ab)2(ab)2且(ab)(ab)0，所以ab0，且a2b2，所以|a|b|2，所以SAOB| 4.12已知向量m(a，b)，n(c，d)，p(x，y)，定义新运算mn(acbd，adbc)，其中等式右
5、边是通常的加法和乘法运算如果对于任意向量m都有mpm成立，则向量p为()A(1,0) B(1,0)C(0,1) D(0，1)解析：选A因为mpm，即(a，b)(x，y)(axby，aybx)(a，b)，所以即由于对任意m(a，b)，都有(a，b)(x，y)(a，b)成立所以解得所以p(1,0)故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知向量a(2x3,2x)，b(3x,2x)(xR)则|ab|的取值范围为_解析：因为ab(x，x2)，所以|ab|，所以|ab|，)答案：，)14设e1，e2为两个不共线的向量，若ae1e2与b(2e13e2)共线，则实数等于_解析：因为a，
6、b共线，所以由向量共线定理知，存在实数k，使得akb，即e1e2k(2e13e2)2ke13ke2又因为e1，e2不共线，所以解得.答案：15.如图所示，在正方形ABCD中，已知| |2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是_解析：| |cosBAN，|cosBAN表示在方向上的投影，又| |2，的最大值是4.答案：416设a，b，c都是单位向量，且a与b的夹角为，则(ca)(cb)的最小值为_解析：(ca)(cb)c2cbacab|c|2c(ab)|a|b|cos c(ab)，要使(ca)(cb)最小，则只需c与ab同向共线即可a与b都是单位向量，且a与b的夹角为，|ab|1，故
7、最小值为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2；当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上所述，|ab|为2或2.18(12分)设向量a(cos ，sin )(0
8、2)，b，且a与b不共线(1)求证：(ab)(ab)；(2)若向量ab与ab的模相等，求角.解：(1)证明：由题意，得ab，ab，因为(ab)(ab)cos2sin2110，所以(ab)(ab)(2)因为向量ab与ab的模相等，所以(ab)2(ab)2，所以|a|2|b|22ab0，因为|a|1，|b|1，所以|a|2|b|2，所以ab0，所以cos sin 0，所以tan ，又因为02，所以或.19.(12分)如图所示，在ABC中，已知CA2，CB3，ACB60，CH为AB边上的高(1)求；(2)设mn，其中m，nR，求m，n的值解：设a，b.(1)因为ab，所以(ab)(a)a2ab932
9、cos 606.(2)因为A，H，B三点共线，所以设(ab)，所以b(ab)a(1)b.因为，所以0，所以a(1)b(ab)0，即a2(1)b2(12)ab0.又a29，b24，ab3，代入上式，解得，所以ab，即m，n.20.(12分)在边长为1的正ABC中，2，3，AD与BE相交于点F.(1)求的值；(2)若，求实数的值解：(1)由题意，D为BC边的中点，而ABC是正三角形，所以ADBC，设a，b，则( )()(ab)b2a2ab11.(2)根据题意：( ) .记，则().根据平面向量的基本定理有解得4.21(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1,2)，又点A(8,0)
10、，B(n，t)，C(ksin ，t).(1)若a，且| |，求向量； (2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值为4时，求.解：(1) (n8，t)，a，8n2t0.又| |，564(n8)2t25t2，得t8，(24,8)或(8，8)(2) (ksin 8，t)与a共线，t2ksin 16.tsin (2ksin 16)sin 2k2，k4，10，当sin 时，tsin 取最大值为.由4，得k8，此时，(4,8)，(8,0)(4,8)32.22(12分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且a，b满足关系式|kab|akb|(k0)(1)求向量a与b的数量积(用k表示)(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值(3)求向量a与b夹角的最大值解：(1)由已知得|a|b|1.|kab|akb|，(kab)23(akb)2，k2|a|22kab|b|23(|a|22kabk2|b|2)，8kab2k22，ab(k0)(2)由(1)知ab0，a与b不可能垂直若ab，由ab0知a，b同向，于是有ab|a|b|cos 0|a|b|1，即1，解得k2，当k2时，ab.(3)设a与b的夹角为，则cos ab(k0)，cos ，当，即k1时，cos 取得最小值.又0180，a与b夹角的最大值为60.