1、课时质量评价(三十八)A组全考点巩固练1在三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A BC或 D或C解析：因为二面角的范围是0，且n1，n2，所以二面角ABDC的大小为或故选C2如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)，平面ABC的法向量为n(2, 1, 2)，设二面角CABO的大小为，则cos 等于()A B C DC解析：由题意可知，平面ABO的一个法向量为(0, 0, 2)，由图可知，二面角CABO为锐角，由空间向量的结论可知，cos 3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA
2、11，AB3，E为线段AB上一点，且AEAB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()A B C DA解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，所以(0,3,1)，(1,1，1)，(0,3，1)设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，得n(2,1,3)所以cos，n，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为4在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A B C DB解析：以A为
3、坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则即所以所以n1(1,2,2)又平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为5在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，二面角BAA1C1的大小为60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()A BC D2A解析：由题意可知，BAC60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB
4、1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB2，AC4，BC2，ABC90，则()()4，|2，|4，cos，故tan，6(多选题)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则，大小关系正确的是()A BC DAC解析：过点B作直线lAC，过点P作底面ABC的垂线PD，D为垂足，过点D作DFAB于点F，作DEl于点E，连接AD，BD，PF，PE由题意可知，二面角PACB的大小与二面角PABC的大小相等，结合空间角的定义知PBE，PBD，PFD，在RtPEB与RtPDB中，
5、由PEPD得sin sin ，所以(，均为锐角)故A正确，B错误；在RtPDB与RtPDF中，由PBPF得sin sin ，所以(，均为锐角)故C正确；由于不存在PBPF的可能，故D错误7如图，在正方形ABCD中，EFAB若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD11，则AF与CE所成角的余弦值为_解析：因为AEEDAD11，所以AEED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系设ABEFCD2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，所以(1,2,0)，(0,2,1)，所以cos，所以AF与CE所成角的余弦值为8正四棱锥PABCD，底
6、面四边形ABCD是边长为2的正方形，PA，其内切球为球G，平面过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30，则平面截球G所得的图形的面积为_解：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)因为PAPDPBPC，AOAC所以PO，所以P(1,1，)，O(1,1,0)，则内切球的球心G在PO上，设G(1,1，h)，内切球的半径为R，SPADSPCDSPBCSPAB22由等体积法可得R(222222)22，解得R，则G因为平面过AD，设平面的法向量为n(0，1，a)，平面ABCD的法向量为m(0,0,1)，设平面与平面AB
7、CD所成二面角为30，则cos 30，即，解得a或a(舍去)，所以n(0，1，)，则圆心G到平面的距离d0，所以截球G所得图形的面积为R29(2021全国甲卷)已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？(1)证明：因为侧面AA1B1B为正方形，所以A1B1BB1又BFA1B1，而BFBB1B，BF平面BB1C1C，BB1平面BB1C1C，所以A1B1平面BB1C1C又ABC A1B1C1是直三棱柱，
8、BCAB，所以平面BB1C1C为正方形取BC中点为G，连接B1G，EG因为F为CC1的中点，所以BFB1G又BFA1B1，且EGA1B1，所以BFEG又B1GEGG，B1G平面EGB1D，EG平面EGB1D，所以BF平面EGB1D又DE平面EGB1D，所以BFDE(2)解：因为侧面AA1B1B是正方形，所以ABA1B1，由(1)知，A1B1平面BB1C1C，所以AB平面BB1C1C又BC平面BB1C1C，所以ABBC设B1Dx，以B为原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1,0)，F(0,2,1)，D(x,0,2)，所以(1,1,1)，
9、(x，2,1)易知，平面BB1C1C的一个法向量可为n1(1,0,0)设平面DFE的法向量n2(x1，y1，z1)，则即不妨取z11，则x1，y1，即n2设n1，n2，则cos 令t，则cos 当时，(cos )max，此时(sin )min故当B1D时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小B组新高考培优练10如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB2AD2CD4，PC2a，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求a的值；(3)在(2)的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值
10、(1)证明：因为PC平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC因为AB4，ADCD2，所以AC2，取AB的中点为N，则可得CNAD，则CNAB，所以BC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC又BCPCC，所以AC平面PBC因为AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC(2)解：以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(2,2,0)，B(2，2,0)，设P(0,0,2a)(a0)，则E(1，1，a)，(2,2,0)，(0,0,2a)，(1，1，a)设m(x0，y0，z0)为平面PAC的法向量，则mm0，即取m(1，1,0)设n(x，y，z)为平面E
11、AC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)依题意|cosm，n|，则a2(3)解：由(2)可得n(2，2，2)，(2,2，4)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |，n|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为11如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB3，AC2，点E是PD的中点(1)求证：PB平面AEC(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF在PBD中，由已知得EFPB又EF平面AEC，
12、PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)解：由题意知，AC，AB，AP两两垂直，所以以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz则C(2,0,0)，D(2，3,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，E设M(x0，y0，z0)， (01)，则(x0，y0，z03)(0,3，3)，得M(0,3，33)设平面AEC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，(2,0,0)，得取y11，得n1(0,1,1)设平面MAC的法向量为n2(x2，y2，z2)由n20，n20，(0,3，33)，(2,0,0)，得取z21，得n2设二面角MACE的大小为
13、因为二面角MACE的余弦值为，所以为锐角，则cos ，化简得92920，解得或易知当时，为钝角，所以，所以故存在点M，当时，二面角MACE的余弦值为12如图，已知ABC是以AC为底边的等腰三角形，将ABC绕AB转动到PAB位置，使得平面PAB平面ABC，连接PC，E，F分别是PA，CA的中点(1)证明：EFAB；(2)在SABC3，点P到平面ABC的距离为3，直线PB与平面ABC所成的角为60这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角EBFA的余弦值(1)证明：如图(1)，过点E作EDAB，垂足为D，连接DF由题意知，PABCAB，易证EDAFDA，所以EDAFDA，即FDAB因为EDAB，E
14、DFDD，所以AB平面EFD又因为EF平面EFD，所以EFAB图(1)(2)解：过点P作POAB，垂足为O，连接CO，则COAB因为平面PAB平面ABC，所以PO平面ABC以O为坐标原点，以OA，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系图(2)设ABa，ABC，由条件得SABCa2sin 3，由条件得POasin 3，由条件得PBO60，即120若选条件，可求得a2，B(，0,0)，A(3，0,0)，P(0,0,3)，C(0,3,0)因为E，f ，所以，设平面BEF的一个法向量m(x，y，z)，由得取m(，1,1)， 又易知平面BFA的一个法向量n(0,0,1
15、)，故cosm，n，所以二面角EBFA的余弦值为若选或均可求得a2，下同13请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答ABBC，FC与平面ABCD所成的角为，ABC如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且PAAB2，PD的中点为F(1)在线面AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由(2)若_，求二面角FACD的余弦值解：(1)在线段AB上存在点G，使得AF平面PCG，且G为AB的中点证明如下：设PC的中点为H，连接FH，GH，如图易证四边形AGHF为平行四边形，则AFGH又GH平面PCG，AF
16、平面PGC，所以AF平面PGC(2)选择因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为PAAB2，所以A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，F(0，1,1)，所以(0,1,1)，(2，1,1)设平面FAC的法向量为u(x，y，z)，则即令y1，则x1，z1，则u(1，1，1)易知平面ACD的一个法向量为v(0,0,2)，设二面角FACD的平面角为，则cos ，即二面角FACD的余弦值为选择设BC中点E，连接AE，取AD的中点M，连接FM，CM，
17、则FMPA，且FM1因为PA平面ABCD，所以FM平面ABCD，FC与平面ABCD所成的角为FCM，故FCM在直角三角形FCM中，CM又因为CMAE，所以AE2BE2AB2，所以BCAE，所以AE，AD，AP两两垂直故以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为PAAB2，所以A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0，2)，F(0,1,1)，所以(0,1,1)，(，0,1)设平面FAC的法向量为u(x，y，z)，则即令x，则y3，z3，则u(，3,3)易知平面ACD的一个法向量为v(0,0,2)设二面角FACD的平面角为，则cos ，即
18、二面角FACD的余弦值为选择因为PA平面ABCD，所以PABC取BC中点E，连接AE因为底面ABCD是菱形，ABC，所以ABC是正三角形又E是BC的中点，所以BCAE，所以AE，AD，AP两两垂直故以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为PAAB2，所以A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，F(0,1,1)，所以(0,1,1)，(，0,1)设平面FAC的法向量为u(x，y，z)，则即令x，则y3，z3，则u(，3,3)易知平面ACD的一个法向量为v(0,0,2)，设二面角FACD的平面角为，则cos ，即二面角FACD的余弦值为
