1、 数 学N单元 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲15N1 (几何证明选讲选做题)如图11，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_.图11158 连接OC，因为AB是圆O的直径，则ACB，而BCOD，故CPOD，由题知CD是圆O的切线，CP是RtODC斜边上的高，由射影定理知OC2OPOD，而OC2，OPBC，OD8.15N1 (选修41：几何证明选讲)如图14，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC3PB，则_图1415. 由切割线定理知PA2PBPC，又BC3PB，所以PA2PB.
2、由弦切角定理知PABPCA，又APCBPA，所以PABPCA，所以.21N1 A如图15，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.图15N2B.已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值N3C.已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径N4D.解不等式x|2x3|2.21A.证明：因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，所以ABDAEB.B解：由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.C解：以极坐标系的极点为
3、平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简得22sin 2cos 40，则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.D解：原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.22N1 选修41：几何证明选讲如图18，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积图1822解：(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是C
4、AB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF，从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为(2)2.22N1 选修41：几何证明选讲如图17，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小图1722解：(
5、1)证明：连接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120，可得x，所以ACB60.N2 选修4-2 矩阵21N1 A如图15，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.图15N2B.已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值N3C.已知圆C的极坐标方程为22sin40，求
6、圆C的半径N4D.解不等式x|2x3|2.21A.证明：因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，所以ABDAEB.B解：由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.C解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简得22sin 2cos 40，则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.D解：原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.21N2、N3、N4 (1)选修42：
7、矩阵与变换已知矩阵A)，B)(i)求A的逆矩阵A1；(ii)求矩阵C，使得ACB.(2)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR)(i)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(ii)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值(3)选修45：不等式选讲已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(i)求abc的值；(ii)求a2b2c2的最小值21解：(1)(i)因为|A|23142，所以A1)(ii)由ACB得(A
8、1A)CA1B，故CA1B),),3)(2)(i)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.(ii)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.(3)(i)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(ii)由(i)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.N3 选修
9、4-4 参数与参数方程12N3 在极坐标系中，圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值是_126 依题意得圆的直角坐标方程为x2y28y0，即x2(y4)216，直线的直角坐标方程为xy0，故圆心到直线的距离d2，因此圆上的点到直线的最大距离为dr6.14N3 (坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_14. 直线l的极坐标方程2sin化为直角坐标方程为xy10，A在直角坐标系中的坐标为，即A(2，2)，故点A到直线的距离为.16N3 (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知
10、直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_162 将直线l的极坐标方程(sin 3cos )0化为直角坐标方程为3xy0，将曲线C的参数方程(t为参数)化为普通方程为y2x24.联立解得或不妨设点A，B，所以2.21N1 A如图15，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.图15N2B.已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值N3C.已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径N4D.解不等式x|2x3|2.21A.证明：因为ABAC
11、，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，所以ABDAEB.B解：由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.C解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简得22sin 2cos 40，则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.D解：原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.23N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极
12、点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值23解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0cd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2，因此.(2)(i)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.(ii)若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)
13、2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2，因此|ab|是|ab|0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围24解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)21N2、N3、N4 (1)选修42：矩阵与变换已知矩阵A)，B)(i)求A的逆矩
14、阵A1；(ii)求矩阵C，使得ACB.(2)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR)(i)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(ii)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值(3)选修45：不等式选讲已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(i)求abc的值；(ii)求a2b2c2的最小值21解：(1)(i)因为|A|23142，所以A1)(ii)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B),),3)(2)(i)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.(ii)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.(3)(i)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(ii)由(i)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.N5 优选法与试验设计