1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十六)直线与圆的位置关系一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014铜仁高一检测)直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心但与圆相交D.相离【解析】选B.圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),点(-1,0)在直线x-y+1=0上,故选B.【变式训练】直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交且直线不过圆心D.相交且直线过圆心【解析
2、】选D.圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的圆心为,圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d=0,所以直线与圆相交且直线过圆心.2.(2013安徽高考)直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4【解题指南】由圆的半径、弦心距、半弦长组成直角三角形,利用勾股定理即可求得半弦长.【解析】选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1,2),半径r=,圆心到直线x+2y-5+=0的距离d=1,在由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中,弦长l=2=2=4.3.若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2-6x+5=0相切,则k的值等于()A.1或-19B
3、.10或-1C.-1或-19D.-1或19【解析】选A.x2+y2-6x+5=0的圆心为(3,0),半径r=2,由题意得圆心到直线的距离d=2,解得k=-19或1.4.(2013陕西高考)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【解题指南】利用点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系中的半径与距离,列出关系式,解之即可判断直线ax+by=1与圆O的位置关系.【解析】选B.点M(a,b)在圆x2+y2=1外a2+b21.圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离d=0),则圆心到直线的距离等于半径1,即=1,c=,所求方
4、程为x+y-=0.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.【解析】由题意可得圆心为(-1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故r=,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.(2014重庆高考)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.【解题指南】先根据ABC为等边三角形求出圆心到直线的距离然后求解.【解析】因为ABC为等边三角形且半径为2,易知圆心到直线的距离为.即点(1,a)
5、到直线ax+y-2=0的距离d=,解得a=4.答案:49.(2014南京高一检测)过点P的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当ACB最小时,直线l的方程为.【解析】当过点P的直线被圆截得的弦长最短时,ACB最小,此时CPAB.因为kCP=-2,所以kAB=,故直线l的方程为y-1=,即2x-4y+3=0.答案:2x-4y+3=0三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切.(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.【解析】将圆C的方程x2+y2-8y
6、+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2.解得a=-.(2)过圆心C作CDAB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用数形结合是一种重要的解题思想方法,直线和圆的方程将数(方程)与形(直线或圆)有机地结合起来,因此常用直线与圆的图形解决一些代数问题.11.(2014张掖高一检测)已知圆C:x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P,Q两点,定点R(1,1),若PRQR,求m的值.【解析】圆的方程为+(y-
7、4)2=-m,圆心C,半径r=,过C作直线PQ垂线为:2x-y+3=0,其与x+2y-6=0联立求得PQ中点M的坐标为(0,3).因为PRQR,所以=,又=,由r2=+-m=5+,所以m=10.【一题多解】设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x2+m-12=0,由根与系数的关系得:由PRQR,可得(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,(*)因为y1=3-,y2=3-,所以y1y2=9+,y1+y2=6,代入(*)式得+1=0,即+1=0,所以m=10.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014潍坊高一检
8、测)与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条【解析】选C.由题意可知,过原点且与圆相切的直线共有2条,此时在两坐标轴上的截距都是0;当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时,易知满足题意的切线有2条;综上共计4条.2.若直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上皆有可能【解析】选B.直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相交,所以1,故点P(a,b)在圆外.【变式训练】已知直线ax-by+c=0(ab0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|
9、c|的三角形()A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在【解析】选B.圆心O(0,0)到直线的距离d=1,则a2+b2=c2,即该三角形是直角三角形.3.(2014绥化高一检测)若直线y=k(x+1)与圆(x+1)2+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的值为()A.2B.1C.D.与k有关的数【解析】选A.直线y=k(x+1)过圆心(-1,0),所以|AB|的值为圆的直径长2.4.(2014梅州高一检测)过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x【解析】选C.设直线为y=kx,因为圆心为(
10、-2,0),半径为1,则=1,解得k=,而切点在第三象限,所以k=,直线方程为y=x.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014南京高一检测)过点A(3,2),圆心在直线y=2x上,与直线y=2x+5相切的圆的方程为.【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意,解得或所以圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=5或+=5.答案:(x-2)2+(y-4)2=5或+=56.(2014湖北高考)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.【解析】依题意,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的
11、,圆心到l1:y=x+a的距离为,圆心到l2:y=x+b的距离为,即=,=cos45=,所以a2=b2=1,故a2+b2=2.答案:2【误区警示】解答本题时容易出现的问题是不能把“将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧”用数学语言表示出来.【变式训练】圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.x2+y2+2x+4y-3=0的圆心为(-1,-2),半径r=2,因为圆心到x+y+1=0的距离为d=,故共有3个.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014黄石高一检测)已知点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y
12、-2)2=4.(1)求过M(3,1)点的圆的切线方程.(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.【解析】(1)圆心C(1,2),半径为r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知=2,解得k=.所以方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)因为圆心到直线ax-y+4=0的距离为,所以+=4,解得a=-.8.(2014玉溪高一检测)已知O
13、:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向O引切线l,求直线l的方程.(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的M的方程.(3)设P为(2)中M上任一点,过点P向O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可知切线斜率存在,故设切线方程为y-2=k(x-4),易得=1,解得k=,所以切线方程为y-2=(x-4).(2)圆心M到直线y=2x-1的距离为,设圆的半径为r,则r2=22+5=9,所以r=3,M的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),设点P的坐标为(x,y),相应的定值为,根据题意可得PQ=,所以=,即x2+y2-1=2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2)().又点P在M上,所以(x-4)2+(y-2)2=9,即x2+y2=8x+4y-11,代入()得,8x+4y-12=2(8-2a)x+(4-2b)y+a2+b2-11,对应项系数相等得解得a=2,b=1,=或a=,b=,=,所以可以找到这样的定点R,使得为定值,当R坐标为(2,1)时,比值为;R坐标为时,比值为.关闭Word文档返回原板块
