1、配套作业1(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1(x0)，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1 是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.2(2018桂林模
2、拟)已知函数f(x)ln xax，g(x)ax21，其中e为自然对数的底数(1)讨论函数f(x)在区间1，e上的单调性；(2)已知a(0，e)，若对任意x1，x21，e，有f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围解(1)f(x)a，当a0时，1ax0，则f(x)0，f(x)在1，e上单调递增；当0a时，e，则f(x)0，f(x)在1，e上单调递增；当a1时，1e，当x时，f(x)0，f(x)在上单调递增，当x时，f(x)0，f(x)在上单调递减；当a1时，01，则f(x)0，f(x)在1，e上单调递减综上所述，当a时，f(x)在1，e上单调递增；当ag(x)max恒成立已知a(0，e)，则当a
3、0时，g(x)0，所以g(x)在1，e上单调递减，而f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)minf(1)a，g(x)maxg(1)a1，所以aa1，得a0，所以g(x)在1，e上单调递增，而f(x)在1，e上单调递减，所以g(x)maxg(e)ae21，f(x)minf(e)1ae，所以1aeae21，得a0，当a0时，对任意的x(0，)，f(x)0时，令f(x)0，得xa，因为x(0，a)时，f(x)0，x(a，)时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，)(2)当a1时，由(1)知，f(x)在1，e上是减函数，所以f(x)maxf(1)1.因为对任意的x
4、11，e，x21，e，f(x1)f(x2)2f(1)24，所以对任意的x11，e，不存在x21，e，使得f(x1)f(x2)4.当1ae时，由(1)知，f(x)在1，a上是增函数，在(a，e上是减函数，所以f(x)maxf(a)aln aa2.因为对任意的x11，e，x21，e，f(x1)f(x2)2f(a)2a(ln a1)4，来源:Zxxk.Com又1ae，所以ln a10,2a(ln a1)40，g(e)4f(e)f(x1)f(1)f(x1)0)，则F(x)(x0)，所以当0x1时，F(x)1时，F(x)0，F(x)单调递增所以F(x)F(1)10，所以a.令G(x)，x，则G(x).因
5、为x，所以22ln x2(1ln x)0，所以x2ln x20，所以当x时，G(x)0，G(x)单调递增，所以G(x)minG(1)1，所以aG(x)min1.故实数a的取值范围为1，)5(2018新疆二检)已知函数f(x)x22aln x.(1)求f(x)的极值；(2)当a0时，函数g(x)f(x)2ax有唯一零点，试求a的值解(1)由已知得函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2x，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是单调递增函数，无极值；当a0时，令f(x)0，解得x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增由上
6、表可知，f(x)极小值f()aaln a.(2)g(x)f(x)2axx22aln x2ax，则g(x)2x2a(x2axa)函数g(x)f(x)2ax有唯一零点，g(x)0有唯一解令g(x)0，得x2axa0.a0，x0，x1(舍去)，x2.当x(0，x2)时，g(x)0，g(x)在(x2，)上单调递增当xx2时，g(x2)0，g(x)ming(x2)来源:学,科,网g(x)0有唯一解，g(x2)0，则即2aln x2ax2a0，a0，2ln x2x210.(*)设函数h(x)2ln xx1，当x0时，h(x)是增函数，h(x)0至多有一解h(1)0，方程(*)的解为x21，即1，解得a.6
7、(2018绍兴模拟)已知函数f(x)ex(xa)2.(1)若曲线yf(x)在x0处的切线斜率为1，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)exxa，f(0)1a1，a0，f(x)exx，记g(x)exx，g(x)ex1.当x0时，g(x)0时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)ming(0)10，故f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)f(x)exxa，令g(x)exxa，g(x)ex1，当x0时，g(x)0，g(x)在0，)上单调递增，来源:Zxxk.Comg(x)ming(0)1a.当1a0，即a1时
8、，g(x)0恒成立，即f(x)0，f(x)在0，)上单调递增，f(x)minf(0)10a，a1.当1a1时，g(x)在0，)上单调递增，且g(0)1a0，当x时，g(x)，x0(0，)使g(x0)0，即e x0x0a.当x(0，x0)时，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0，f(x)单调递增f(x)minf(x0)e x0(x0a)2e x0e 2x0e x0.若f(x)min0，则e x02，解得00，t(x)在(0，ln 2上单调递增，t(x)t(ln 2)2ln 2，1a2ln 2.综上，a的取值范围是，2ln 27(2018泉州模拟)已知函数f(x)(x1)exmx22，其中mR，
9、e2.71828为自然对数的底数(1)当m1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当常数m(2，)时，函数f(x)在0，)上有两个零点x1，x2(x1ln .解(1)当m1时，f(x)(x1)exx22，f(x)xex2xx(ex2)由f(x)x(ex2)0，解得x0或xln 2.当xln 2或x0，f(x)的单调递增区间为(，0)，(ln 2，)当0xln 2时，f(x)2，x0，由f(x)x(ex2m)0，解得x0或xln 2m.当xln 2m时，f(x)0，f(x)在(ln 2m，)上单调递增；当0xln 2m时，f(x)0，f(x)在0，ln 2m上单调递减f(x)的极小值为f(ln 2
10、m)函数f(x)在0，)上有两个零点x1，x2(x1x2)，f(ln 2m)0，f(1)2m0，可知x1(0,1)f(ln 2m)ln 2mln 4.0x1ln 41ln .8(2018南昌模拟)已知函数f(x)xaexb(a0，bR)(1)求f(x)的最大值；(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x20，得xln ，f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)maxfln 1b.不妨设x10，则需证t2et2et.设g(t)t2et2et，则g(t)2tetet.设h(t)2tetet，则h(t)2etet0，h(t)在(0，)上单调递减，h(t)h(0)0，即g(t)0
11、，g(t)在(0，)上单调递减，g(t)g(0)0，故原不等式成立9(2018包头模拟)已知函数f(x)xexae2x(aR)恰有两个极值点x1，x2(x1.解(1)f(x)ex(x12aex)，要使函数f(x)恰有两个极值点，则x12aex0有两个不相等的实数根令g(x)x12aex，g(x)12aex.来源:学科网ZXXK当a0时，g(x)12aex0，即g(x)在R上单调递增，与题意不符，舍去当a0时，令g(x)12aex0，xln ，若x0，即g(x)在上单调递增，且x时g(x)ln ，则g(x)0，即g(x)在上单调递减，且x时g(x)0，1，即0a.(2)证明：由(1)得x1ln ln ，f(x2)e x2 (x21)e x2x2e x2.0aln 0，f(x2)0，f(x2)在上单调递增，f(x2)f(ln 2a1)令g(a)，则g(a).0a，ln 2a0，g(a)g，f(x2)g(a)，即f(x2).
