1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020江苏扬州中学高二月考)函数f(x)=x(ex-1)+ln x的图像在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=2ex-e-1B.y=2ex-e+1C.y=2ex+e-1D.y=2ex+e+1解析由函数f(x)=x(ex-1)+lnx,知f(1)=e-1,f(x)=ex-1+xex+1x,所以k=f(1)=2e,在点(1,f(1)处的切线方程是y-(e-1)=2e(x-1),化简得y=2ex-e-1.答案A2.(2020武邑宏达学校高一月
2、考)设Sn是等差数列an的前n项和,若a6a5=911,则S11S9=()A.1B.-1C.2D.12解析在等差数列an中,由a6a5=911,得S11S9=11(a1+a11)29(a1+a9)2=11a69a5=119911=1,故选A.答案A3.(2020济南高三模拟)张丘建算经卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a17的值为()A.56B.52C.28D.26
3、解析等差数列的首项a1=5,设公差为d,故S30=30a1+30292d=390,解得d=1629,故a14+a17=2a1+29d=26.故选D.答案D4.(2020元氏第一中学高一期中)已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=2,S7=28,则数列1anan+1的前2 020项和为()A.20202021B.20182020C.20182019D.20192020解析由题意,设等差数列an的公差为d,则a1+d=2,7a1+762d=28,解得a1=1,d=1.数列an的通项公式为an=1+(n-1)1=n,nN+.1anan+1=1n(n+1).设数列1anan+1的前n项和为Tn,则T
4、n=1a1a2+1a2a3+1anan+1=112+123+1n(n+1)=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.T2020=20202021.故选A.答案A5.(2020四川北大附中成都为明学校高二月考)已知函数f(x)=x2-aln x+1在(1,3)内不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(2,18)B.2,18C.(-,218,+)D.2,18)解析f(x)=2x-ax,f(x)=x2-alnx+1在(1,3)内不是单调函数,故2x-ax=0在(1,3)存在变号零点,即a=2x2在(1,3)内存在零点,2abcB.bcaC.cbaD.bac解析f(x)=1+
5、cosx0,所以f(x)是R上的增函数.log123=-log23log132=-log32-log33=-1,2-20,所以c=f(2-2)b=f(log132)a=f(log123),故选C.答案C7.数列an满足a1=1,a1+2a2+2n-1an=2n+1an+1(nN+),若a1+a2+anm恒成立,则m的最小值为()A.4B.2C.53D.43解析由a1+2a2+2n-1an=2n+1an+1(nN+),可得当n2时,由a1+2a2+2n-2an-1=2nan,两式相减可得:an+1an=34,n2.又a1=1,得a2=14,所以数列an的通项公式为an=1,n=1,14(34)n
6、-2,n2,所以当n2时,a1+a2+a3+an=1+141-(34)n-11-34=2-34n-12,且n=1时,a1=10,得0xe,由g(x)e.函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,g(x)max=g(e)=1e.作出函数g(x)与函数h(x)的草图,如图所示.由图可知,要使得函数g(x)与函数h(x)的图像至少有一个交点,只需h(x)ming(x)max,即e2-2e2+a1e,解得ae2+1e.答案B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020南
7、京江宁高级中学高二期中)已知函数y=f(x)的导函数f(x)的图像如图所示,则下列判断正确的是()A.函数y=f(x)在区间-3,-12内单调递增B.当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值C.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值解析对于A,函数y=f(x)在区间-3,-12内有增有减,故A不正确;对于B,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;对于C,当x(-2,2)时,恒有f(x)0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故C正确;对于D,当x=3时,f(x)0,故D不正确.答案BC10.(2020山东高三一模)已知数列
8、an的前n项和为S,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,数列2nanan+1的前n项和为Tn,nN+,则下列选项正确的为()A.数列an+1是等差数列B.数列an+1是等比数列C.数列an的通项公式为an=2n-1D.Tn1解析由Sn+1=Sn+2an+1,得an+1=Sn+1-Sn=2an+1,可化为an+1+1=2(an+1),由S1=a1=1,可得数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1.又2nanan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1,可得Tn=1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1
9、-12n+1-11,故A错误,B,C,D正确.答案BCD11.(2019辽宁省辽宁实验中学高二期中)已知数列an为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q0,1),则bn的前n项和可以是()A.nB.nqC.q+nqn+1-nqn-qn(1-q)2D.q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2解析设等差数列an的公差为d,又a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),化简得d(d-1)=0,所以d=0或1,故an=1或an=n,所以bn=q或bn=nqn.设bn的
10、前n项和为Sn,当bn=q时,Sn=nq;当bn=nqn时,Sn=1q+2q2+3q3+nqn,qSn=1q2+2q3+3q4+nqn+1,两式相减,得(1-q)Sn=q+q2+q3+qn-nqn+1=q(1-qn)1-q-nqn+1,所以Sn=q(1-qn)(1-q)2-nqn+11-q=q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2.故选BD.答案BD12.(2020苏州市相城区陆慕高级中学高二月考)已知函数f(x)=ex+aln x,其中正确结论的是()A.当a=0时,函数f(x)有最大值B.对于任意的a0,函数f(x)是(0,+)上的增函数D.对于任意的a0,都有函数f(x)0解析对
11、于A,当a=0时,函数f(x)=ex,根据指数函数单调性可知,此时f(x)是单调增函数,故无最大值,故A错误.对于B,对于任意的a0,f(x)=ex+alnx,f(x)=ex+ax,易知f(x)是在(0,+)上的单调增函数.当x+时,f(x)+,当x0时,f(x)-,存在f(x0)=0,当0xx0时,f(x)0,f(x)单调递减;当x0x0,f(x)单调递增.f(x)min=f(x0),故B正确.对于C,对于任意的a0,函数f(x)=ex+alnx,f(x)=ex+ax,又a0,x0.可得:f(x)0,故函数f(x)是(0,+)上的增函数.故C正确.对于D,对于任意的a0,函数f(x)=ex+
12、alnx是(0,+)上的增函数,当x0时,ex1,lnx-,可得f(x)-,故D错误.故选BC.答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020河南郑州高二期中)已知b为正实数,直线y=x+a与曲线y=ex+b相切,则a2b的取值范围是.解析因为y=ex+b,则y=ex+b.由ex+b=1,得x=-b.当x=-b时,y=1,故切点为(-b,1),将切点代入直线得到1=-b+a,a2b=(1+b)2b=b+1b+22b1b+2=4,当b=1时等号成立.答案4,+)14.(2020绍兴高级中学高一月考)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=5,a10=-9,则使Sn取得
13、最大值时的n=.解析数列an为等差数列,a3=5,a10=-9,数列an的公差d=a10-a37=-2,a1=a3-2d=9,Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+10n=-(n-5)2+25,当n=5时,Sn取最大值.答案515.(2020宜宾叙州区高二期中)已知等比数列an,a2,a6是函数f(x)=x3+9x2+12x+3的两个极值点,则a4=.解析因为f(x)=3x2+18x+12,又a2,a6是函数f(x)的两个极值点,则a2,a6是方程3x2+18x+12=0的根,所以a2a6=4=a42,所以解得a4=-2或2.答案-2或216.(2020黄冈中学第五师分校高二期中)已知函数y
14、=f(x)在R上的图像是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,其导函数为f(x),当x0时,有不等式x2f(x)-2xf(x)成立.若对任意xR,不等式e2xf(ex)-a2x2f(ax)0恒成立,则正整数a的最大值为.解析因为当x0时,有不等式x2f(x)-2xf(x)成立,所以x2f(x)+2xf(x)0,x2f(x)0.令g(x)=x2f(x),所以函数g(x)在(0,+)上单调递增,由题意得g(-x)=x2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,所以函数在R上单调递增.因为对任意xR,不等式e2xf(ex)-a2x2f(ax)0恒成立,所以e2xf(ex)a2
15、x2f(ax),g(ex)g(ax),exax,因为a0,所以当x0时,显然成立.当x0时,a0),所以h(x)=(x-1)exx2,所以函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以h(x)min=h(1)=e,所以a0,求使得Snan的n的取值范围.解(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN
16、.18.(本小题满分12分)(2020天津南开中学滨海生态城学校高二期中)已知函数f(x)=x3+32ax2-x+1(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)当a0时,设g(x)=f(x)+x.求函数g(x)的极值;若函数g(x)在1,2上的最小值是-9,求实数a的值.解(1)当a=2时,f(x)=x3+3x2-x+1,f(x)=3x2+6x-1,k=f(1)=8,f(1)=4,故切线方程为y-4=8(x-1),即8x-y-4=0.(2)g(x)=f(x)+x=x3+32ax2+1,ax1.随着x的变化,g(x)和g(x)的变化如下:x(-,0)0(0
17、,-a)-a(-a,+)g(x)+0-0+g(x)极大值极小值所以g(x)的极大值是g(0)=1;极小值为g(-a)=a3+22.g(x)=3x2+3ax=3x(x+a),()当-1a0时,g(x)0在1,2上恒成立,g(x)在1,2上单调递增,g(x)min=g(1)=32a+2=-9,a=-223-1(舍去).()当-2a-1时,则x,g(x),g(x)的变化如下:x(1,-a)-a(-a,2)g(x)-0+g(x)极小值g(x)min=g(-a)=12a3+1=-9,a=-3200;当x3,23时,f(x)0.所以f(x)在区间0,3,23,上单调递增,在区间3,23上单调递减.(2)证
18、明因为f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,上的最大值为f3=338,最小值为f23=-338.而f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|338.(3)证明由于(sin2xsin22xsin22nx)32=|sin3xsin32xsin32nx|=|sinx|sin2xsin32xsin32n-1xsin2nx|sin22nx|=|sinx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|,所以sin2xsin22xsin22nx3382n3=3n4n.22.(本小题满分12分)(2019安徽合肥高三月考)已知函数f(x)=2x-ln x
19、+b-2x.(1)函数y=f(x)-2x-2x在(0,1)内有两个不同零点x1,x2(x1x2),求b的取值范围;(2)在第(1)问的条件下,判断当x(x2,1)时,曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.解(1)y=f(x)-2x+2x=bx-lnx在(0,1)内有两个不同零点x1,x2,b=xlnx,x(0,1).令(x)=xlnx,则(x)=1+lnx,令(x)=0,可解得x=1e,当x0,1e,(x)0,(x)单调递增.所以(x)在x=1e取得极小值1e=1eln1e=-1e.因为x0时,xlnx0,且xlnx0,所以(x)=xlnx的图像大致如图所示.所以当-1eb0时,方程b=xlnx有两解x1,x2,且x10,1e,x21e,1,所以-1eb0.(2)f(x)=2x-lnx+b-2x=1(12)x-1x2+bx-lnx.由(1),知当-1eb0,bxlnx,所以bx-lnx12,x212,所以1(12)x-1x20,则f(x)=1(12)x-1x2+bx-lnx0,所以当x(x2,1)时曲线y=f(x)位于x轴下方.