1、第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.某人在打靶中,连续射击2次,至多有一次中靶的对立事件是()A.至少有一次中靶B.两次都中靶C.两次都不中靶D.恰有一次中靶答案B解析某人在打靶中,连续射击2次的所有可能结果为:第一次中靶,第二次中靶;第一次中靶,第二次未中靶;第一次未中靶,第二次中靶;第一次未中靶,第二次未中靶.至多有一次中靶包含了三种可能,故其对立事件为,即两次都中靶.故选B.2.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万,则去年年底甲县的人口为()A.162万B.176万C.182万D
2、.186万答案C解析由统计图可得,丙县人口占四个县总人口的20%,又丙县人口为70万,所以四个县总人口为7020%=350(万),因为甲县人口占四个县总人口的52%,所以甲县的人口为35052%=182(万).故选C.3.某班有34位同学,座位号记为01,02,34.用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座位号是()49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
3、04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A.23B.09C.02D.16答案D解析选取的编号依次为21,32,09,16,17,则第4个志愿者的座位号为16.故选D.4.随机猜测“选择题”的答案,每道题猜对的概率为0.25,则两道选择题至少猜对一道的概率为()A.716B.116C.916D.38答案A解析每道题猜对的概率为0.25=14,则猜错的概率为34,由独立事件概率的计算公式得两道选择题都猜错的概率为3434=916,所以至少猜对一道的概率为1-916=716,故选A.5.从某中学抽取10名同学,得到他们的数学成绩如下:82,85,88,90,92,
4、92,92,96,96,98(单位:分).则这10名同学数学成绩的众数、中位数分别为()A.92,92B.92,96C.96,92D.92,90答案A解析数据92出现了3次,出现的次数最多,所以众数是92.这组数据是按照由小到大的顺序排列的,中间两个数据的平均数是(92+92)2=92,故中位数是92.故选A.6.有下列说法:一组数据不可能有两个众数;一组数据的方差必须是正数;将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后,方差不变;在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案C解析对于,由于一组数据的众数可能不唯一,故错误;对
5、于,一组数据的方差必须是非负数,故错误;对于,根据方差的定义知正确;对于,根据频率分布直方图中频率的意义知正确.综上可得错误.故选C.7.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6答案A解析设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,则任选2人的选法有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10种,其中全是女生的选法有AB,AC,BC,共3种.故选中的2人都是女同学的概率P=310=0.3.故选A.8.某人为了检测自己的解题速度,记录了5次解题所花的时间(单位:分)分别为x,y,55,60,50
6、,已知这组数据的平均数为55,方差525,则|x-y|=()A.1B.2C.3D.4答案B解析因为这组数据的平均数为55,方差为525,所以x+y=110,(x-55)2+(y-55)2=2.设x=55+t,y=55-t,因为(x-55)2+(y-55)2=2,所以2t2=2,即t2=1,则|x-y|=2|t|=2.故选B.9.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17B.1235C.1735D.1答案C解析设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“从中任意取出2粒
7、恰好是同一色”为事件C.则P(A)=17,P(B)=1235,A与B互斥.由互斥事件的概率加法公式可得P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735.即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是1735.故选C.10.港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h,现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),则在此路段上汽车行驶速度在区间85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为()A.300,0.25B.300,0.3
8、5C.60,0.25D.60,0.35答案B解析由频率分布直方图得,在此路段上汽车行驶速度在区间85,90)的频率为0.065=0.3,所以在此路段上汽车行驶速度在区间85,90)的车辆数为0.31 000=300,行驶速度超过90 km/h的频率为(0.05+0.02)5=0.35.故选B.11.如图是2019年我校举办“激扬青春,勇担责任”演讲比赛大赛上,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为()A.85,87B.84,86C.85,86D.84,85答案D解析去掉最高分93,最低分79后,中位数为84,平均数为843+86+87
9、5=85.故选D.12.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.甲地区乙地区若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2;平均数分别为s1,s2,则下面正确的是()A.m1m2,s1s2B.m1m2,s1s2C.m1m2,s1s2D.m1s2答案C解析由频率分布直方图得,甲地区40,60)的频率为(0.015+0.020)10=0.35,60,70)的频率为0.02510=0.25,所以甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5-0.350.2510=66,甲地区
10、的平均数s1=450.01510+550.02010+650.02510+750.02010+850.01010+950.01010=67.乙地区50,70)的频率为(0.005+0.020)10=0.25,70,80)的频率为0.03510=0.35,所以乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5-0.250.351077.1,乙地区的平均数s2=550.00510+650.02010+750.03510+850.02510+950.01510=77.5.m1m2,s12,极差为9-5=4.故x甲=x乙,甲、乙成绩的中位数不相等,s乙2s甲2.故填.三、解答题(本大题共6小题,共70分.
11、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.解(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年
12、人所占比例分别为a,b,c,则x40%+3xb4x=47.5%,x10%+3xc4x=10%,解得b=50%,c=10%,故a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.(2)由(1)知游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%,则抽取的青年人人数为2003440%=60,抽取的中年人人数为2003450%=75,抽取的老年人人数为2003410%=15.即游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.18.(12分)为了普及法律知识,达到“法在心中”的目的,某市法制办组织了一次普法
13、知识竞赛.统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩,如下表所示:甲单位职工的成绩/分8788919193乙单位职工的成绩/分8589919293根据表中的数据,分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差,并判断哪个单位的职工对法律知识的掌握更为稳定.解x甲=15(87+88+91+91+93)=90,x乙=15(85+89+91+92+93)=90,s甲2=15(87-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(93-90)2=245,s乙2=15(85-90)2+(89-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(93-90)2=8.因为2458
14、,所以甲单位的职工对法律知识的掌握更为稳定.19.(12分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04(1)求至多有2人排队等候的概率是多少.(2)求至少有3人排队等候的概率是多少.解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.(1)记“至多有2人排队等候”为事件G,则G=ABC,所以P(G)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56
15、.(2)记“至少有3人排队等候”为事件H,则H=DEF,所以P(H)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.20.(12分)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄/岁19282930313240合计工人数/人133543120(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;(3)求这20名工人年龄的方差.解(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21.(2)茎叶图如图所示.(3)年龄的平均数为19+283+293+305+314+323+4020=30.这20名工人年龄的方差为s2=120(-11)2+
16、3(-2)2+3(-1)2+412+322+102=12.6.21.(12分)近年来,郑州经济快速发展,备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右.为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中a=4b.(1)求a,b的值;(2)求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数;(3)若按照分层抽样从50,60),60,70)中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在50,60)的概率.解(1)依题意得(a+b+0.00
17、8+0.027+0.035)10=1,所以a+b=0.03,又a=4b,所以a=0.024,b=0.006.(2)平均数为550.08+650.24+750.35+850.27+950.06=74.9,中位数为70+0.5-0.08-0.240.03575.14,众数为70+802=75.(3)依题意,知从分数在50,60)的市民中抽取了2人,记为a,b,从分数在60,70)的市民中抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况为(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(
18、b,5),(b,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共28种,其中满足条件的为(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),共13种,设“至少有1人的分数在50,60)”为事件A,则P(A)=1328.22.(12分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的
19、概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.解设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中,则P(Ak)=13,P(Bk)=12(k=1,2,3).(1)记“乙获胜”为事件C,则P(C)=P(A1B1)+P(A1B1A2B2)+P(A1B1A2B2A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)=2312+232122+233123=1327.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,则P(D)=P(A1B1A2B2)+P(A1B1A2B2A3)=P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)=232122+23212213=427.