1、第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列第2课时课后篇巩固提升基础达标练1.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,故P(Y=2)=P(X=4)=0.3.答案A2.(2020浙江高三专题练习)已知离散型随机变量X的分布列如下表,则实数c为()X01P9c2-c3-8cA.13B.23C.13或23D.14解析由离散型随机变量分布列的性质知,9c2-c0,3-8c0,9c2-c+3-8c=1,解得c=13.故选A.
2、答案A3.若随机变量X的分布列为X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是()A.(-,2B.1,2C.(1,2D.(1,2)解析由随机变量X的分布列知P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,故当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2.答案C4.(2020潍坊高三月考)若随机变量X的分布列如下表所示,则a2+b2的最小值为()X0123P14a14bA.124B.116C.18D.14解析由分布列性质可知a+b=12,故a2+b2(a+b)22=18,当且仅当a=b=14时,等号成立.故选C.答案C5.已知离散型随机变量X的概
3、率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P12X52的值为()A.23B.34C.45D.56解析P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),a2+a6+a12+a20=1,a=54,P12X52=P(X=1)+P(X=2)=5412+5416=56.答案D6.已知随机变量X的分布列如下表.X012345P192157458451529则X为奇数的概率为.答案8157.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三
4、排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223.第一排明文字母ABC密码数字111213第二排明文字母EFG密码数字212223第三排明文字母MNP密码数字123(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;(2)设随机变量表示密码中所含不同数字的个数.求P(=2);求随机变量的分布列.解(1)这个明文对应的密码是12232.(2)表格的第一、二列均由数字1,2组成,当=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母.P(=2)=2333=827.由题意可知,的取值为2,3.P(=3)=
5、1-P(=2)=1-827=1927.的分布列为23P82719278.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150内,其频率分布直方图如图.(1)求获得复赛资格的人数.(2)从初赛得分在区间(110,150的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130与(130,150中各抽取多少人?(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X表示得分在区间(130,150中参加全市座谈交流的人数,求X的分布列.解(1)由题意知在
6、区间(90,110的频率为1-20(0.0025+0.005+0.00752+0.0125)=0.3,0.3+(0.0125+0.005)20=0.65,故获得复赛资格的人数为8000.65=520.(2)0.01250.005=52,在区间(110,150的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人,则在区间(110,130与(130,150中各抽取5人,2人.(3)X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C53C20C73=27,P(X=1)=C52C21C73=47,P(X=2)=C51C22C73=17.故X的分布列为X012P274717能力提升练1.(多选)下列随机变量服从两点
7、分布的是()A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量XB.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=1,取出白球,0,取出红球D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X答案BCD2.已知抛掷2枚骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X4)等于()A.16B.13C.12D.23解析根据题意,P(X=2)=136,P(X=3)=236=118,P(X=4)=336=112,故P(X4)=136+118+112=16.答案A3.已知随机变量只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是()
8、A.0,13B.-13,13C.-3,3D.0,1解析设随机变量取x1,x2,x3的概率分别为a-d,a,a+d(0a-d1,0a+d1),则由分布列的性质,得(a-d)+a+(a+d)=1,故a=13.由13-d0,13+d0,解得-13d13.答案B4.由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其分布列如下.X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则x,y的值依次为.解析由0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1,得10x+y=25.又因为x,y0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故
9、x=2,y=5.答案2,55.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量,则P(6)=.解析取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分=4,6,8,10,则P(6)=P(=4)+P(=6)=C44C30C74+C43C31C74=1335.答案13356.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,
10、设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A21A31A52=310.(2)X的可能取值为200,300,400,则P(X=200)=A22A52=110,P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=35.故X的分布列为X200300400P11031035素养培优练受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙
11、两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+350=110.(2)依题意得,X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910