1、K 概率K1随事件的概率19K1、K5、K6 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)19解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).K2古典概型15K2 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节
2、艺术课的概率为_(用数字作答)15. 6节课共有A720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法分两类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有AA144种；(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文” 两种形式，其排法有2AA72种；(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：ACCA216种综上可知，相邻两节文化课间最多
3、间隔1节艺术课排法有14472216432种，所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为.11K2 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)11. 考查古典概率和组合问题，关键是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情况所有的可能情况有CCC，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有CCC，由古典概率公式得P.6K2 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_6. 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解解题突破口
4、为等比数列通项公式的运用由通项公式an1(3)n1得，满足条件的数有1，3，33，35，37，39，共6个，从而所求概率为P.16K2、K6 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均
5、能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由16解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A).(2)依题意得，X1的分布列为 X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得，E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车7K2、J1 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数
6、为0的概率是()A. B.C. D.7D 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：第一类x为奇数，y为偶数共有：CC25；另一类x为偶数，y为奇数共有：CC20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A).K3几何概型10K3 在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32
7、cm2的概率为()A. B.C. D.10C 本小题主要考查几何概型解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比令ACx，CB12x，这时的面积为Sx(12x)，根据条件Sx(12x)00x4或8x2)0.5；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX00.510.4920.010.
8、51.解法二：X所有可能的取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX00.510.4920.010.51.19I2、I4、K6、K8 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图图16将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育
9、迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)附：2，P(2k)0.050.01k3.8416.63519解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得23.030
10、.因为3.0303.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意XB，从而X的分布列为X0123PE(X)np3.D(X)np(1p)3.18K6、B10 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频
11、数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由18解：(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN)(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为EX600.1700.2800.776.X的方差为DX(6076)2
12、0.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为DY(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然EXEY，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花
13、店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，EXEY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花17K5、K6 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8
14、件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率)17解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1)，P(X1.5)，P(X2)，P(X2.5)，P(X3).X的分布列为X11.522.53PX的数学期望为E(X)11.522.531.9.(2)
15、记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21).故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.20K6、K7 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小
16、于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率20解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工
17、期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是.17I2、K6 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图14所示，其中成绩分组区间是：(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为，求的数学期望图1417解：(1)由题设可知(30.0060.01x0.054)101，解之得x0.
18、018.(2)由题设可知，成绩在区间内的人数为0.00610503，所以不低于80分的学生人数为9312，的所有可能取值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).所以的数学期望E012.17K5、K6 某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束试题库中现共有nm道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量(1)求Xn2的概率；(2)设mn，求X的分布列和均值(数学期望)17解：
19、以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i1,2.(1)P(Xn2)P(A1A2).(2)X的可能取值为n，n1，n2.P(Xn)P( )，P(Xn1)P(A1)P(A2)，P(Xn2)P(A1A2)，从而X的分布列是Xnn1n2PEXn(n1)(n2)n1.16K2、K6 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频
20、率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由16解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A).(2)依题意得，X1的分布列为 X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得，E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.
21、92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车19K6、K7 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.19解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD，根据事件的独立性和互斥性得
22、P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)，(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P(X0)P()，P(X1)P(B)P(B)P()P()，P(X2)P(CD)P(C)P(D)，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)，P(X4)P(CD)，P(X5)P(BCD).故X的分布列为X012345P所以EX012345.16K6，K7 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或
23、2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E.16解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)Ci4i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4，由于A3与A4互斥，
24、故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P随机变量的数学期望E024.图1419K1、K5、K6 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)19解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X
25、3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).K7条件概率与事件的独立性16K6，K7 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E
26、.16解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)Ci4i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4，由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以
27、的分布列是024P随机变量的数学期望E024.图14s20K6、K7 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率20解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X2)0.5；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或
28、第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX00.510.4920.010.51.解法二：X所有可能的取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列为X012P0.50.
29、490.01EX00.510.4920.010.51.17K8、I1、I2 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a0，abc600.当数
30、据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值注：s2，其中为数据x1，x2，xn的平均数17解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为0.7，所以P(A)约为10.70.3.(3)当a600，bc0时，s2取得最大值因为(abc)200，所以s280 000.19I2、I4、K6、K8 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行
31、调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图图16将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)附：2，P(2k)0.050.01k3.8416.63519解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从
32、而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得23.030.因为3.0303.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意XB，从而X的分布列为X0123PE(X)np3.D(X)np(1p)3.K9 单元综合17K9 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E.17解： (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p.解得p.(2)由题意，P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3，所以，随机变量的概率分布列为：0123P故随机变量的数学期望：E0123.