1、4.2.3对数函数的性质与图像课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)给定函数:y=x12,y=log12(x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的序号有()A.B.C.D.答案BC解析y=x12在(0,1)上为增函数;y=log12(x+1)在(0,1)内为减函数;y=|x-1|在(0,1)内为减函数;y=2x+1在(0,1)内为增函数.2.已知函数f(x)=1-2x,若a=f(log30.8),b=f1213,c=f(2-12),则()A.abcB.bcaC.cabD.ac1212=2-12,得bc,由log30.802-12,得ca.所以bca.3.函数f(x)
2、=2|log2x|的图像大致是()答案C解析因为f(x)=2|log2x|=x,x1,1x,0x1,故选C.4.若0af13f14B.f14f(2)f13C.f13f(2)f14D.f14f13f(2)答案D解析因为0af13f12.又f12=loga12=|-loga2|=|loga2|=f(2),从而有f14f13f(2).故选D.5.以下四个数中最大的是()A.(ln 2)2B.ln(ln 2)C.ln 2D.ln 2答案D解析0ln 21,ln(ln 2)0,(ln 2)2ln 2.又ln 2=12ln 21,则函数y=ax与y=logax在定义域内均为增函数B.函数y=log3(x2
3、+1)在(0,+)内为增函数C.y=logax2与y=2logax表示同一函数D.若0a1,0mnlogan0答案C解析对于A,若a1,则函数y=ax与y=logax在定义域内均为增函数,正确;对于B,因为y=log3t与t=x2+1在(0,+)内均为增函数,所以y=log3(x2+1)在(0,+)内为增函数,正确;对于C,y=logax2的定义域为x|x0,y=2logax的定义域为x|x0,两函数定义域不同,不表示同一函数,错误;对于D,若0a1,0mnlogan0,正确.故选C.7.已知函数f(x)=logax,g(x)=bx的图像经过点14,2,则ab的值为()A.1B.2C.4D.8
4、答案D解析因为函数f(x)=logax,g(x)=bx的图像都经过点14,2,所以loga14=2,b14=2,解得a=12,b=16,则ab=8.8.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x1时,f(x)=ln x,则有()A.f13f(2)f12B.f12f(2)f13C.f12f13f(2)D.f(2)f12f13答案C解析由f(2-x)=f(x)得x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,又当x1时,f(x)=ln x单调递增,当x1时,函数单调递减.f12f13f(0).又由已知得f(2)=f(0),f12f130.若对于任意的x(0,+),都有f(x)1,则c的取
5、值范围是()A.0,14B.14,+C.0,18D.18,+答案D解析由f(x)1,得log2x-2log2(x+c)1,整理得log2(x+c)log2x2,所以x+cx2,即c-x+22x(x0).令x=t(t0),则c-t2+22t.令g(t)=-t2+22t,其图像对称轴为直线t=24.所以g(t)max=g24=-242+2224=18.则c18.所以,若对于任意的x(0,+),都有f(x)1,则c的取值范围是18,+.故选D.10.若a0,且a1,则函数f(x)=2loga(5x-10)+2恒过定点P的坐标是.答案115,2解析令5x-10=1,解得x=115,所以函数f(x)恒过
6、定点115,2.11.函数f(x)=ax+loga(x+1)(a0,且a1)在0,1上的最大值与最小值之和为a,则a的值为.答案12解析当0a1时,y=ax和y=loga(x+1)在0,1上都是增函数.所以f(x)在0,1上的最大值与最小值之和为f(0)+f(1).而f(0)+f(1)=(a0+loga1)+(a1+loga2)=a,即1+loga2=0,故a=12.12.函数f(x)的定义域是-1,1,则函数f(log12x)的定义域为.答案12,2解析由题得-1log12x1,所以log122log12xlog1212,12x2,所以函数f(log12x)的定义域为12,2.13.已知函数
7、f(x)=log2(x-1)的定义域为A,函数g(x)=12x(-1x0)的值域为B.(1)求AB;(2)若C=y|ya-1,且BC,求a的取值范围.解(1)由题意知,x-10,log2(x-1)0,解得x2.A=x|x2.易知B=y|1y2,AB=2.(2)由(1)知B=y|1y2,若要使BC,则有a-12.所以a3.能力提升1.作出函数y=|log2(x+1)|+2的图像.解第一步:作y=log2x的图像,如图.第二步:将y=log2x的图像沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图像,如图.第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图像作关于x轴的对称变换,得y=|log
8、2(x+1)|的图像,如图.第四步:将y=|log2(x+1)|的图像沿y轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图像,如图.2.已知函数y=log2x4(log16x2-log22)(2x8).(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式及t的范围;(2)求该函数的值域.解(1)因为2x8,所以t1,3,则log4x=12log2x=12t.因为y=log2x4(log16x2-log22)(2x8),所以y=log2x4log4x-12(2x8).所以y=(t-2)12t-12=12(t-2)(t-1)=12t2-32t+1,t1,3.(2)由(1)知y=12t2-32t+1=12t
9、-322-18,t1,3.当t1,32时,函数单调递减,当t32,3时,函数单调递增,所以当t=32时,ymin=-18.因为当t=1时,y=0,当t=3时,y=1232-323+1=1,所以ymax=1.所以函数y=log2x4(log16x2-log22)(2x8)的值域为-18,1.3.已知函数f(x)=loga1a-2x+1在区间1,2上的值恒为正,求实数a的取值范围.解(1)当a1时,只需1a-2x+11,即1a-2x0,1x2,1a-20,即a1矛盾.(2)当0a1时,设g(x)=1a-2x+1(x1,2),只需0g(x)1.当a=12时,g(x)=1,f(x)=0,不合题意;当0a0,g(x)是增函数,只要g(1)0,且g(2)1,解得12a1,与0a12矛盾;当12a1时,1a-20,且g(1)1,解得12a23.综上所述,a的取值范围是12,23.