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(新课标)2023版高考数学一轮总复习 第7章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法教师用书.doc

上传人:高**** 文档编号:1136673 上传时间:2024-06-05 格式:DOC 页数:11 大小:441KB
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资源描述

1、第一节数列的概念与简单表示法考试要求:1了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、公式法)2了解数列是一种特殊函数一、教材概念结论性质重现1数列的概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式前n项和把数列an从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列an的前n项和,记作Sn,即Sna1a2an(1)数列研究的是有顺序的一列数,归纳与猜想是研究数列的重要方法(2)有序性是数列的主要特征,数列的项an是序号n的函数,其中n是正整数(3)数列

2、的前n项和是从a1一直加到an,而不是从中间取出某n项的和2数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式用公式anf(n),nN*给出数列递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1,a2和an1f(an,an1)等表示数列的方法1数列的图象是由离散的点(n,an)组成2用递推公式表示数列时,必须含有初始值,初始值可能是一项,也可能是两项或若干项3an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn,则an1当n2时,anSnSn1不能表示a12需要验证当n1时是否满足统一的an与n之间的规律,如果不满足,则通项公式是分段的4数列的分类如果数

3、列的项先递增,后递减,则数列有最大项;如果数列的项先递减,后递增,则数列有最小项二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误,对的打“”,错的打“”(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来()(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若an1an0(n2),则数列an是递增数列()(4)如果数列an的前n项和为Sn,则对于任意nN*,都有an1Sn1Sn()2已知数列an的通项公式为ann28n15,则()A3不是数列an中的项B3只是数列an中的第2项C3只是数列an中的第6项D3是数列an中的第2项或第6项D解析:令an3,即n28n153,解得n2或n6,故3是数

4、列an中的第2项或第6项故选D3数列1,4,9,16,25,的一个通项公式是()Aann2Ban(1)nn2Can(1)n1n2 Dan(1)n(n1)2C解析:因为每一项的绝对值都是该项序号的平方,奇数项符号为正,偶数项符号为负,所以an(1)n1n2故选C4已知ann2n,且对于任意的nN*,数列an是递增数列,则实数的取值范围是_(3,)解析:因为an是递增数列,所以对任意的nN*,都有an1an,即(n1)2(n1)n2n,整理得2n10,即(2n1)(*)因为n1,所以(2n1)3,要使不等式(*)恒成立,只需3考点1由数列的前几项求通项公式基础性根据下面各数列前几项的值,写出数列的

5、一个通项公式:(1),;(2),;(3),2,8,;(4)5,55,555,5 555,解:(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式an(1)n(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为13,35,57,79,911,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式an(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察,即,从而可得数列的一个通项公式an(4)将原数列改写为9,99,999,易知数列9,99,999,的一个通项公式为10n1,故所求的数列的一个通项公式an(

6、10n1)1错误地表示符号规律致误:项正负相间的数列可以用(1)n,(1)n1表示符号,要分清是先负后正还是先正后负2未对项变形致误:若已知的项的形式不统一,则不便求通项公式,因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式,如题(3)3求通项公式时要注意联想:对于如题(4)这样的数列,可以通过联想10,100,1 000,10 0009,99,999,9 9991,11,111,1 111进而得到通项公式考点2由Sn与an的关系求通项综合性(1)若数列an的前n项和Snn210n,则此数列的通项公式为an_(2)若数列an的前n项和Sn2n1,则此数列的通项公式为an_(1)2n11(2)解

7、析:(1)当n1时,a1S11109;当n2时,anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11当n1时,21119a1,所以an2n11(2)当n2时,anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1当n1时,a1S12113,不满足上式,综上有an将本例(1)的条件变为:数列an满足a12a23a3nan2n,求an解:当n1时,由已知,可得a1212因为当n2时,a12a23a3nan2n,故a12a23a3(n1)an12n1由,得nan2n2n12n1,所以an显然当n1时不满足上式,所以an已知Sn求an的步骤(1)利用a1S1求出a1(2)用n1替换Sn中的n得到一个新

8、的关系,利用anSnSn1(n2)求出当n2时an的表达式(3)检验n1时的值是否符合n2时的表达式,再写出通项公式an1已知Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn1)n1,则数列an的通项公式为()Aan2n BanCan2n1 Dan2n1B解析:由log2(Sn1)n1,得Sn12n1,即Sn2n11当n1时,a1S13当n2时,anSnSn12n,显然当n1时不满足上式所以数列an的通项公式为an故选B2已知数列an的前n项和Snn22n1(nN),则an_解析:当n2时,anSnSn12n1当n1时,a1S14211,显然不满足上式因此an考点3由数列的递推关系求通项应用性考向1

9、累加法已知在数列an中,a12,an1anln ,求数列an的通项公式解:因为an1anln ,所以an1anln ,所以anan1ln (n2),所以an1an2ln ,a2a1ln (n2),所以ana1ln ln ln ln n(n2),所以anln na1(n2)又a12,所以anln n2对形如an1anf(n)的模型求an,可以将式子变形为anan1f(n1)(n2),通过累加方法求通项公式考向2累乘法在数列an中,a11,anan1(n2),求数列an的通项公式解:因为anan1(n2),所以an1an2,an2an3,a2a1所以,以上(n1)个式子等号的两端相乘得ana1当n

10、1时,a11,上式也成立所以an(nN)对形如an1anf(n)(f(n)可求积)的模型求an,先变形为f(n1)(n2),再用累乘法求出与n的关系式,进而得到数列an的通项公式考向3待定系数法已知数列an满足a11,an12an3,求数列an的通项公式解:将递推公式an12an3设为an1t2(ant),即an12ant,解得t3,故递推公式为an132(an3)令bnan3,则b1a134,且2所以数列bn是以b14为首项,2为公比的等比数列,所以bn42n12n1,故an2n13对形如an1panq(p1)模型求an,设为an1mp(anm),构造anm为公比为p的等比数列,先求出anm

11、的通项公式,进而求出an考向4取倒数法已知数列an满足a12,an1(nN),则an_解析:因为an1,所以因为a12,即,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以(n1),故an形如an1(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新的数列求解1若a11,an1an2n1,则an_n22n2解析:因为an1an2n1,所以当n2时,anan12n3,所以a2a11,a3a23,anan12n3,所以ana1(n1)2,所以an(n1)21n22n2又当n1时,122121,所以n1时符合上式所以ann22n22若a11,nan1(n1)an(n2),则an_解析:因为nan1(

12、n1)an,所以又a11,所以ana13已知数列an满足a11,an13an2,求数列an的通项公式解:因为an13an2,所以an113(an1),所以3,所以数列an1为等比数列且公比q3又a112,所以an123n1,所以an23n11(nN),考点4数列与函数应用性考向1数列的增减性与最大值、最小值(1)已知an,那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列 D摆动数列B解析:an1,由于f(x)1在(0,)上为增函数,所以an为递增数列故选B(2)已知an(nN*),设am为数列an的最大项,则m_8解析:an1(nN*),根据函数的单调性知,当n7或n8时,数列an为递减数列因

13、为当n7时,an1,所以a8为最大项,可知m8本例(2)中的条件改为在数列an中,an,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是哪些项?解:an1,44.9,当1n44,nN*时,为负数且an递减;当45n100,nN*时,为正数,且an递减所以前100项中,最大项为a45,最小项为a44解决数列的单调性问题的常用方法(1)用作差比较法,根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列(2)用作商比较法,根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断(3)结合相应函数的单调性直观判断考向2数列的周期性已知数列an中,a11,a22,且anan2an1(nN*),则a2 020的值

14、为()A2 B1C D解析:由已知得a32,由a22,a32,得a41,由a32,a41,得a5,由a41,a5,得a6,由a5,a6,得a71,由a6,a71,得a82,由此推理可得数列an是周期为6的数列,所以a2 020a41故选B解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期求值考向3新定义问题若存在常数k(kN,k2),q,d,使得无穷数列an满足an1则称数列an为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差设数列bn为“段比差数列”若bn的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,则b2 019()A3 B4C5 D6D解析:方

15、法一:因为bn的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b2 0170b2 0160,所以b2 018b2 01733,所以b2 019b2 01836故选D方法二:因为bn的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b11,b24,b37,b40b30,b5b433,b6b536,b70b60,所以当n4时,bn是周期为3的周期数列所以b2 019b66故选D解决数列的新定义问题的要点(1)准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆(2)方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(

16、特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法1已知f(x)的定义域为R,数列an(nN*)满足anf(n),且an是递增数列,则a的取值范围是()A(1,) BC(1,3) D(3,)D解析:由于an是递增数列,所以a1,且f(2)f(1),即a22a3,解得a1或a3,所以a3故选D2已知数列an满足2,a120,则的最小值为()A4 B41C8 D9C解析:由an1an2n知,a2a121,a3a222,anan12(n1),n2,以上各式相加得ana1n2n,n2,所以ann2n20,n2,当n1时,a120符合上式,所以ann2n20,nN*,所以n1,nN*,所以当n4时,单调递减,当n5时,单调递增因为,所以的最小值为83在数列an中,a1,an1(n2,nN*),则a2 021的值为()A B5 C DB解析:在数列an中,a1,an1(n2,nN*),所以a215,a31,a41,所以an是以3为周期的周期数列,所以a2 021a67332a25故选B

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